Strona:PL Auerbach Arytmetyka grecka u szczytu rozwoju.pdf/13

21

ARYTMETYKA GRECKA U SZCZYTU ROZWOJU

pewne prawa, których każe przestrzegać przy rozwiązywaniu zadania. Biorę z 1 księgi zadanie 6, więc jedno z początkowych: Daną liczbę rozłożyć na dwa dodajniki tak, aby dana część pierwszego dodajnika była większa od danej części drugiego dodajnika o daną liczbę:

$x+y=a$

${\frac {x}{m}}-{\frac {y}{n}}=b$

Po rozwiązaniu równania wypadnie $x={\frac {m(a+bn)}{m+n}},y={\frac {n(a-bm)}{m+n}}$
 Diofantos mówi po podaniu tematu i przed zaczęciem wykonania: Liczba dana (b) musi być mniejsza od liczby, która powstanie, jeśli się z liczby początkowo danej (a) weźmie tę daną część, w której jest nadwyżka.
 Co to znaczy? Zobaczymy to, wziąwszy przypadek konkretny, mianowicie: Rozłożyć liczbę 100 tak, aby ${\frac {1}{4}}$ pierwszej była większa od ${\frac {1}{6}}$ drugiej o 20. Według powyższego musi więc być: $20<{\frac {100}{4}}$, co w tym wypadku jest oczywiście prawdą.
 Cóż to jednać znaczy, że musi być mniejsza? Spróbujmy, co się stanie, jeśli wstawimy liczby, które tego warunku nie spełniają. Zmieńmy w przytoczonym przykładzie konkretnym ${\frac {1}{4}}$ i ${\frac {1}{6}}$ odpowiednio nprz. na ${\frac {1}{10}}$ i ${\frac {1}{15}}$. Obecnie już więc nie będzie $20<{\frac {100}{10}}$. Mamy teraz:

$x+y=100,{\frac {x}{10}}-{\frac {y}{15}}=20;{\text{zatem }}x=160,y=-60$.

 Cóż widzimy? Wynik jest ten, że jeden dodajnik jest ujemny. A Diofantos nie znał, czy nie uznawał rozwiązań w liczbach ujemnych. Otóż jego zastrzeżenie zakreśla granice, w których wyniki są jeszcze dodatnie.
 Jest rzeczą ciekawą, jak on wpadł na to, że tylko wtedy są rozwiązania dodatnie, kiedy spełnia się warunek wyrażony w zdaniu „Liczba dana musi być mniejsza od liczby, która powstanie, jeśli się z liczby początkowo danej weźmie tę daną część, w której jest nadwyżka“. W naszem rozwiązaniu ogólnem było $y={\frac {n(a-bm)}{m+n}}$. Co nam ten wzór mówi? y będzie dodatnie, jeśli $a-bm$ będzie dodatnie, gdyż ani $n$ ani $m+n$ nie mogą sprawić, aby wynik był ujemny. Kiedy $a-bm$ będzie dodatnie? Jeśli