Przejdź do zawartości

Strona:Maryan Smoluchowski-O atmosferze ziemi i planet.pdf/16

Z Wikiźródeł, wolnej biblioteki
Ta strona została uwierzytelniona.

A to równanie można całkować; oznaczając stałą przez m otrzymujemy:

(25)

które wraz z równaniem (23) jest podstawą dalszych rozważań.
Także równanie (20) można w ten sam sposób całkować, ale dalsze wywody w tamtej formie byłyby już znacznie utrudnione.
Chcąc całkować ten system równań (24), (25) trzebaby wprzód wyrugować jednę ze zmiennych n.  p. u, co można wykonać w następujący sposób:
Z równania (25) otrzymuje się a z równania (23) można wyrazić u2 jako funkcyę z ; różniczkując raz i wstawiając tamtą wartość otrzyma się wreszcie równanie:

które już tylko zawiera zmienne Θ, x i które zapomocą substytucyi: m — gx = en = Θv przemienić można w równanie formy:
  gdzie ,
ale to równanie, choć tylko pierwszego rzędu, trudno dalej uprościć, więc trzebaby w końcu uciec się do rozwinięcia w szeregi. Zdaje mi się jednak, że nie warto przytaczać tutaj tych skomplikowanych rachunków, a to z tej przyczyny, że i tak nie będziemy mogli użyć ich do rozwiązania ilościowo dokładnego naszego zadania geofizycznego z powodu nieoznaczoności stałych, które w nie trzebaby wstawić.
Nie wystarczy bowiem podanie temperatury na powierzchni ziemi i chyżości prądu powietrza wznoszącego się, wielkość o której zresztą tylko bardzo niedokładne mamy wiadomości, ale będzie trzeba oznaczyć jeszcze trzecią stałą n. p. wielkość w poziomie zero. Z tem jednak zanadto wiele hipotetycznych warunków weszłoby w nasze rezultaty, aby im można przypisać ilościową dokładność.
To, że tu potrzebujemy trzech stałych przy całkowaniu nie jest właściwością tego przykładu lecz odnosi się wogóle do ruchu jednowymiarowego gazu z tarciem, a że n. p. prawo Poiseuilla określające przepływ gazów przez rurki cienkie zawiera tylko dwa warunki końcowe, polega tylko na przeoczeniu pewnych czynników, o czem przy innej sposobności obszerniej zamierzam pomówić.
Do wyników kwalitatywnych, które dla naszych celów wystarczają, dojdziemy jednak o wiele łatwiej przez roztrząśnienie samych równań różniczkowych.