Strona:Maryan Smoluchowski-O atmosferze ziemi i planet.pdf/16

A to równanie można całkować; oznaczając stałą przez m otrzymujemy:

$\mathrm {\scriptstyle 0=m-gx-\left(R+{\frac {c}{A}}\right)\Theta +{\frac {4}{3}}{\frac {\gamma }{b}}\Theta u{\frac {du}{dx}}}$

(25)

które wraz z równaniem (23) jest podstawą dalszych rozważań.
 Także równanie (20) można w ten sam sposób całkować, ale dalsze wywody w tamtej formie byłyby już znacznie utrudnione.
 Chcąc całkować ten system równań (24), (25) trzebaby wprzód wyrugować jednę ze zmiennych n.  p. u, co można wykonać w następujący sposób:
 Z równania (25) otrzymuje się $\mathrm {\scriptstyle {\frac {d\left(u^{2}\right)}{dx}}}$ a z równania (23) można wyrazić u² jako funkcyę z $\mathrm {\scriptstyle {\frac {d\left(u^{2}\right)}{dx}}}$; różniczkując raz i wstawiając tamtą wartość otrzyma się wreszcie równanie:

$\mathrm {\scriptstyle {\frac {2c}{A}}\left[R+{\frac {c}{A}}+{\frac {m-gx}{\Theta }}\right]={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\left[R+{\frac {c}{A}}+{\frac {m-gx}{\Theta }}\right]\left[{\frac {c}{A}}+{\frac {m-gx}{\Theta }}\right]}{{\frac {1}{\Theta }}{\frac {d\Theta }{dx}}}}\right]}$

które już tylko zawiera zmienne Θ, x i które zapomocą substytucyi: m — gx = eⁿ = Θv przemienić można w równanie formy:
$\mathrm {\scriptstyle {\frac {dz}{du}}={\frac {2a}{a+v}}\left(1-z\right)^{2}-1+z-{\frac {\left(a+b+2v\right)v}{\left(a+v\right)\left(b+v\right)}}z\left(1-z\right)}$   gdzie $\mathrm {\scriptstyle z={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{du}}}$,
ale to równanie, choć tylko pierwszego rzędu, trudno dalej uprościć, więc trzebaby w końcu uciec się do rozwinięcia w szeregi. Zdaje mi się jednak, że nie warto przytaczać tutaj tych skomplikowanych rachunków, a to z tej przyczyny, że i tak nie będziemy mogli użyć ich do rozwiązania ilościowo dokładnego naszego zadania geofizycznego z powodu nieoznaczoności stałych, które w nie trzebaby wstawić.
 Nie wystarczy bowiem podanie temperatury na powierzchni ziemi i chyżości prądu powietrza wznoszącego się, wielkość o której zresztą tylko bardzo niedokładne mamy wiadomości, ale będzie trzeba oznaczyć jeszcze trzecią stałą n. p. wielkość $\mathrm {_{dx}^{du}}$ w poziomie zero. Z tem jednak zanadto wiele hipotetycznych warunków weszłoby w nasze rezultaty, aby im można przypisać ilościową dokładność.
 To, że tu potrzebujemy trzech stałych przy całkowaniu nie jest właściwością tego przykładu lecz odnosi się wogóle do ruchu jednowymiarowego gazu z tarciem, a że n. p. prawo Poiseuilla określające przepływ gazów przez rurki cienkie zawiera tylko dwa warunki końcowe, polega tylko na przeoczeniu pewnych czynników, o czem przy innej sposobności obszerniej zamierzam pomówić.
 Do wyników kwalitatywnych, które dla naszych celów wystarczają, dojdziemy jednak o wiele łatwiej przez roztrząśnienie samych równań różniczkowych.