Strona:Maryan Smoluchowski-O atmosferze ziemi i planet.pdf/15

 Wstawiając wartości p_xx etc. z równań (15) otrzymujemy wreszcie równanie:

${\begin{array}{lcr}\scriptstyle \mathrm {{\frac {c}{A}}\rho {\frac {D\Theta }{Dt}}+p} \left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}\right)=2\mu \left[-{\frac {1}{3}}\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}+\right.\\\scriptstyle \left.+\left({\frac {dv}{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {dw}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dw}{dy}}+{\frac {dv}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {du}{dz}}+{\frac {dw}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dv}{dx}}+{\frac {du}{dy}}\right)^{2}\right]\end{array}}$

(18)

 Lewa strona równania odnosi się do energii odwracalnej, prawa strona jest funkcyą »disypacyjną«, która u Stokesa i Natansona służy do określenia energii rozpraszanej przy ruchu cieczy.
 Zdaje się jednak, że nie została dotąd użyta w zadaniach hydromechanicznych, i że to stanowi pierwszy przykład, w którym uwzględnienie jej okazuje się stanowczo potrzebne dla mechaniki ruchu.
 Zastosujemy teraz te równania do przypadku idealnego t. j. do ruchu stałego prądu gazu w kierunku promienia ziemi przy uwzględnieniu grawitacyi.
 Chyżość oznaczamy przez σ, a spółczynnik tarcia przyjmiemy jako proporcyonalny do temperatury: μ = γΘ. Wtedy zapomocą równania ciągłości otrzymujemy całkę:

ρσr2 = const. = b.

(19)

A równania ruchu uproszczają się znacznie wskutek symetryi kulistej:

$\mathrm {\scriptstyle \sigma {\frac {d\sigma }{dr}}=-{\frac {ga^{2}}{r^{2}}}-R{\frac {d\Theta }{dr}}+{\frac {4\gamma }{3b}}{\frac {d}{dr}}\left[\Theta \sigma r^{2}\left({\frac {d\sigma }{dr}}-{\frac {\sigma }{r}}\right)\right]}$

(20)

a równanie termiczne:

$\mathrm {\scriptstyle {\frac {c}{A}}{\frac {d\Theta }{dr}}+{\frac {R\Theta }{\sigma }}\left[{\frac {d\sigma }{dr}}+{\frac {2\sigma }{r}}\right]={\frac {4}{3}}{\frac {\gamma }{b}}\Theta r^{2}\left[{\frac {d\sigma }{dr}}-{\frac {\sigma }{r}}\right]^{2}}$

(21)

 W przybliżeniu do którego tutaj się ograniczymy, możemy 1) uważać ciężkość jako stałą, 2) pominąć wpływ energii kinetycznej $\mathrm {\scriptstyle \sigma {\frac {d\sigma }{dr}}}$ i tak samo także 3) krzywiznę ziemi, wstawiając $\mathrm {\scriptstyle {r=a+z,\;\lim {\frac {z}{a}}=0}}$; jeszcze wygodniej jest zastósować wprost równania (16) i (18) do ruchu jednowymiarowego w kierunku x:

${\begin{aligned}\mathrm {\scriptstyle \rho u} &\scriptstyle =\mathrm {b} \\\mathrm {\scriptstyle 0=-g-R{\frac {d\Theta }{dx}}+{\frac {R\Theta }{u}}} &\mathrm {\scriptstyle {\frac {du}{dx}}+{\frac {4}{3}}{\frac {\gamma }{b}}u{\frac {d}{dx}}\left[\Theta {\frac {du}{dx}}\right]} \end{aligned}}$

(22)

$\mathrm {\scriptstyle {\frac {c}{A}}{\frac {d\Theta }{dx}}+{\frac {R\Theta }{u}}{\frac {du}{dx}}={\frac {4}{3}}{\frac {\gamma }{b}}\Theta \left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}}$

(23)

 Dodając dolne równanie do górnego otrzymamy na miejsce tegoż:

$\mathrm {\scriptstyle 0=-g-\left(R+{\frac {c}{A}}\right){\frac {d\Theta }{dx}}+{\frac {4}{3}}{\frac {\gamma }{b}}{\frac {d}{dx}}\left[\Theta u{\frac {du}{dx}}\right]}$

(24)