Strona:Maryan Smoluchowski-O atmosferze ziemi i planet.pdf/14

${\scriptstyle \mathrm {p_{xy}} =\mu \left({\frac {dv}{dx}}+{\frac {du}{dy}}\right)}$ etc (zobacz n.  p. Lamb Hydrodynamics p. 512) wynikają wtedy równania

${\begin{array}{lcr}\scriptstyle \rho {\frac {\mathrm {Du} }{\mathrm {Dt} }}=\rho \mathrm {X} +\mu \left[{\frac {4}{3}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {d^{2}v}{dxdy}}+{\frac {1}{3}}{\frac {d^{2}w}{dxdz}}\right]+\\\scriptstyle +{\frac {d\mu }{dx}}\left[{\frac {4}{3}}{\frac {du}{dx}}-{\frac {2}{3}}{\frac {dv}{dy}}-{\frac {2}{3}}{\frac {dw}{dz}}\right]+{\frac {d\mu }{dy}}\left[{\frac {dv}{dx}}+{\frac {du}{dy}}\right]+{\frac {d\mu }{dz}}\left[{\frac {dw}{dx}}+{\frac {du}{dz}}\right]\end{array}}$

(16)

i podobne dla osi Y i Z.
 Zwykle równania Stokesa otrzymuje się kładąc pochodne ${\scriptstyle {\frac {du}{dx}}}$ etc. równe zeru. Najważniejsze jednak jest teraz równanie określające zjawiska termiczne powstające wskutek ruchu, którego wywód tu w krótkości naszkicuję, chociaż podobne rachunki się już u Stokesa i Natansona znajdują.
 Zmiana energii całkowitej t. j. energii cieplnej, kinetycznej i potencyalnej każdej części cieczy (lub gazu) musi się równać pracy wykonanej przez ciśnienia działające na powierzchnię tej części cieczy.
 Więc oznaczając element masy = ρdv przez dm:

${\begin{array}{lcr}\scriptstyle \mathrm {{\frac {D}{Dt}}\iiint \left[{\frac {c}{A}}\Theta +{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)+U\right]dm=} \\\scriptstyle [\left(p_{xx}\cos nx+p_{xy}\cos ny+p_{xz}\cos nz\right)u+\left[\ldots ..\right]v+\\\scriptstyle +\left[\ldots \ldots .\right]w]dS\end{array}}$

(17)

przyczem całki odnoszą się do powierzchni poruszającej się razem z cieczą.
 Przemieniając całkę powierzchniową w całkę objętościową otrzymujemy:

${\scriptstyle =\iiint \left[{\frac {d}{dx}}\left(\mathrm {p_{xx}u+p_{xy}v+p_{xz}w} \right)+{\frac {d}{dy}}\left(\mathrm {p_{xy}u+p_{yy}v+p_{yz}w} \right)+{\frac {d}{dz}}\left(\mathrm {\ldots \ldots } \right)\right]\mathrm {dx\,dy\,dz} }$

a wykonując różniczkowanie i uwzględniając równania (14):

${\begin{array}{lcr}\scriptstyle =\iiint \left[\mathrm {u{\frac {Du}{Dt}}+v{\frac {Dv}{Dt}}+w{\frac {Dw}{Dt}}-\left(uX+vY+wZ\right)} \right]\mathrm {dm} +\\\scriptstyle +\iiint \left[\mathrm {p_{xx}} {\frac {du}{dx}}+\mathrm {p_{yy}} {\frac {dv}{dy}}+\mathrm {p_{zz}} {\frac {dw}{dz}}+\mathrm {p_{xy}} \left({\frac {dv}{dx}}+{\frac {du}{dy}}\right)+\ldots ..\right]\,\mathrm {dx\,dy\,dz.} \end{array}}$

 Po wykonaniu operacyi ${\scriptstyle \mathrm {\frac {D}{Dt}} }$ w równaniu (17) zniosą się wyrażenia odnośne do sił i jeżeli zastosujemy całki do dowolnie małych elementów cieczy, pozostanie wreszcie równanie: ${\scriptstyle \mathrm {{\frac {c}{A}}\,\rho \,{\frac {D\Theta }{Dt}}\,+\,W\,=\,0} }$ gdzie W oznacza wyrażenie między nawiasami w ostatniej całce.