[1]ODBITKA Z KWARTALNIKA KLASYCZNEGO VI 1932
MARJAN AUERBACH
PLATON
A MATEMATYKA GRECKA
LWÓW 1932
Skan zawiera grafikę. [3]MARJAN AUERBACH
PLATON A MATEMATYKA GRECKA
Μηδεὶς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω εἰς τὴν στέγην μου miał wedle Jana Tzetzesa w Chiliades czyli Βίβλος ἱστοριῶν VIII 972 brzmieć napis u wejścia do szkoły Platona, do starej Akademji. „Kto nie zna zasad geometrji, nie ma wstępu do Akademji“, głosi ten napis. Wprawdzie wedle Wilamowitza Platon 1² 495 wiadomość ta nie jest dostatecznie pewna, gdyż Tzetzes, acz bardzo uczony, nie zawsze czerpie wiadomości z godnych zaufania źródeł, jednak treść tych słów jest zgodna z całym poglądem Platona, jak to wnet będę się starał wykazać w twierdzeniu, że Platon uważał matematykę za propedeutykę do studjów filozoficznych.
Pogląd Platona odziedziczyli jego uczniowie. I tak przekazał nam Diogenes z Laerty IV 10, że, gdy do Xenokratesa, drugiego zkolei po Speusippie kierownika Akademji, przyszedł razu pewnego młodzieniec, aby się zapisać w poczet uczniów szkoły, mistrz mu odpowiedział — po egzaminie z matematyki; „Odejdź, nie masz bowiem, czem chwycić za filozofję!“ Obie te anegdoty dowodzą dostatecznie, jak wysoko ceniono matematykę w szkole Platona.
Proklos Diadochos (V w. po Chr.) w komentarzu do Elementów Eukleidesa cytuje fragment ze starszego pisarza, przedstawiającego obraz rozwoju najstarszej matematyki greckiej w Jonji, południowej Italji i Athenach. Nauka jest zgodnie zdania, że fragment ten pochodzi z jakiegoś dzieła historyczno-geometrycznego Eudemosa z Rhodos, ucznia Aristotelesa. W porządku chronologicznym podaje autor nazwy tych Greków, którzy jego zdaniem przyczynili się do rozwoju matematyki. Figuruje tam i Platon: „Platon, który po tych nastąpił (tzn. po Hippokratesie z Chios i Theodorosie z Kyrene), przyczynił się do rozwoju tak innych nauk jakoteż i geometrji, przez wielką pilność, którą — jak wiadomo — w nią włożył“.
Ile wiadomości matematycznych mógł Platon wynieść ze szkoły atheńskiej, trudno oczywiście wiedzieć. Wtedy jeszcze nawet nie było nazwy tej nauki. Wyrazem τά μαϑήματα obejmowano wtedy wszystkie nauki znane. Wyraz μαϑηματιϰή (τέχνη) stworzyli dopiero Peripatetycy.
[4] Możemy tylko pośrednią drogą dojść do pewnych wniosków, jużto z samych dzieł Platona, jużto skądinąd. Platon, mówiąc w Politei o szkolnictwie i omawiając naukę matematyki w szkole elementarnej, bardzo ujemnie, w ostrych słowach wyraża się o wiadomościach matematycznych Atheńczyków. Stąd byłby usprawiedliwiony wniosek, że matematyka w szkole atheńskiej za czasów Platona stała na bardzo niskim poziomie. Wilamowitz w Platon 1² p. 49 twierdzi nawet, że wogóle wtedy nie uczono matematyki: Rechenunterricht, den wir erwarten, gab es nicht. I nie było to przypadkowe. Pominąwszy fakt, że w wychowaniu atheńskiem widocznie nie kładziono wtedy nacisku na wykształcenie matematyczne, trzeba sobie uprzytomnić, że matematyka nie tworzyła jeszcze wtedy tego potężnego, imponującego gmachu, jaki zbudował około r. 300, więc niedługo po śmierci Platona, Eukleides, gmachu, przy którego budowie magna pars fuit Platon. W czasach, gdy Platon jeszcze uczęszczał do szkoły, powstał dopiero pierwszy podręcznik matematyki, napisany przez Hippokratesa z Chios. Podręcznik ten był już przestarzały, kiedy Platon nauczał w Akademji, głównie dzięki badaniom matematycznym Platona i jego uczniów, pracujących pod jego kierunkiem. Więc ani podręcznika nie było dobrego ani w społeczeństwie atheńskiem nie odczuwano potrzeby nauki matematyki w szkołach.
Uświadomienie sobie, że Platon ze szkoły wyniósł mało wiadomości matematycznych i to nie podanych należycie, i że później żądał, aby matematyki w szkole uczono należycie i to nie tylko chłopców, ale i dziewczęta, dowodzi zrozumienia Platona dla matematyki.
Oczywiście w kolejach życia Platona znajdziemy, gdzie i u kogo nabrał entuzjazmu dla matematyki i gdzie się jej nauczył.
Vita jego opowiada, że był dłuższy czas — na lata, zdaje się, liczony — w Egipcie, kolebce matematyki. Strabon w Geogr. XVII p. 806, 29 opowiada, że był w Heliupolis i tam mu pokazywano mieszkanie kapłanów i dom, w którym mieszkał Platon 13 lat: ἐϰεί ούν ἐδείκνυτο οί τε τών ίερέων οίϰοι ϰαί Πλάτωνος ϰαί Εύδόξου διατριβαί συνανέβη γάρ δή τώ Πλάτων ο Εύδοξος δευρο ϰαί συνδιέτριψαν τοις ίερεύσιν ένταύϑα έϰείνοι τρισϰαίδεϰα έτη, ώς είρήταί τισιν. Jak ongiś 200 lat przedtem joński kupiec i mędrzec z Miletu, Thales, u Egipcjan zaczerpnął wiedzy [5]matematycznej, skąd ją przywiózł do rodaków w Azji Mniejszej i stał się ojcem matematyki greckiej, tak dwa wieki potem Platon poznał tajniki matematyki u kapłanów egipskich. Pobyt jego w Wielkiej Grecji sprowadził go w bliższe stosunki z Pythagorejczykami, głównie z Archytasem z Tarentu i Timaiosem z Lokroi. Wspomina o tem między innemi Cicero Fin. V 19, 50; Tusc. I 17, 39; Resp. I 10, 15.
Z życiorysu wiemy też, że był w Kyrenie, kolonji wyspy Thera, założonej około r. 630. Tam poznał Platon Theodorosa z Kyreny, który wedle tradycji odegrał pewną rolę w rozwoju matematyki, głównie przez wykazanie że √2, √3 itd. do √17 są liczbami niewymiernemi. Przekazał to Platon w Theaitetosie 147 D. Może też w Kyrene poznał się Platon z Theaitetem, który był filozofem-matematykiem. Temu to Theaitetowi — podobnie jak wielu innym — dał impuls do badań matematycznych. Są też w Elementach Eukleidesa całe partje, wzięte z rozpraw Theaiteta. Szczególnie własnością Theaiteta są zasady teoretyczne proporcyj ciągłych, wyłożone w ks. VII-IX Elementów. Tak samo od Theaiteta pochodzi partja księgi 10, traktująca o liczbach niewymiernych. Wspominam o tem wyraźnie, by z naciskiem podnieść wpływ Platona na kierunek badań matematycznych.
Wśród tych podróży przesiąkł Plato podziwem i uwielbieniem dla matematyki. Trzeba przyznać, że rzeczy i wypadki z jego życia, których pobieżnie dotknąłem, nie wystarczą na wytłumaczenie entuzjazmu Platona dla matematyki, gdyby w najgłębszych złożach duchowych Platona nie było dyspozycyj do tego. Snać miał Plato dyspozycje do studjów matematycznych, które dzięki warunkom wspomnianym tak bujnie zakwitły.
Nie mogę pominąć jeszcze jednego czynnika, zdaniem mojem, bardzo ważnego. Mam na myśli wpływ niezapomnianego mistrza Platonowego — Sokratesa. U Sokratesa nauczył się Platon, że ważną rolę w nauce grają definicje. To też w dialogach, zwłaszcza tak zwanych sokratycznych, wciąż spotykamy się z definiowaniem pojęć. Bardzo przejrzyste i wyraźne są definicje pojęć i tworów matematycznych. I nic dziwnego. Twory matematyczne są konstrukcjami naszego intellektu, są to rzeczy, których poza umysłem tworzącym je niema. Stąd też, mając od Sokratesa zamiłowanie w [6]definiowaniu, brał często przykłady dla interlokutorów z dziedziny matematyki. Tu bowiem, jak przed chwilą wspomniałem, najwyraźniej występuje stosunek gatunku do rodzaju, pojęcia nadrzędnego do podrzędnego. Sami bowiem cechy dodajemy lub odejmujemy. Więc np. w Menonie 73 E pyta się Sokrates o definicję pojęcia διϰαιοσύνη, i otrzymuje odpowiedź: ή γάρ διϰαιοσύη, ώ Σώκρατες, άρετή έστιν. A na to Sokrates: Πότερον άρετή, ώ Μένων, ή άρετή τις: Czy sprawiedliwość jest cnotą, czy jakąś cnotą? Co to znaczy to τις? Przez dodanie zaimka nieokreślonego τις wprowadza Sokrates-Platon obok άρετή jeszcze inne pojęcia współrzędne z pojęciem άρετή. I wtedy łatwo będzie zdefiniować διϰαιοσύνη przez podanie pojęcia nadrzędnego i cechy gatunkowej (differentia specifica). Natomiast w definicji διϰαιοσύνη έστίν άρετή mieści się tautologja. Sokrates, aby objaśnić Menonowi, o co mu idzie w tem słówku τις, bierze do pomocy, wedle swego zwyczaju, przykład i to z matematyki, bo — jak wspomniałem — matematyka jest wymarzonem wprost polem dla ścisłych definicyj. Sokrates mówi tak: οίον στρογγυλότητος πέρι είποιμι άν έγωγε ότι σχήμά τι έστιν, ουχ ούτως άπλώς ότι σχήμα, διά τουτο δέ ούτως άν είποιμι, ότι ϰαί άλλα έστι σχήματα (np. o krzywiznie powiedziałbym, mówi Sokrates, że jest jakąś figurą, a nie tak poprostu, że jest figurą, gdyż są i inne figury).
Oczywiście Platon nie pisał żadnych dzieł matematycznych, gdyż nie był zawodowym matematykiem. Wzmianki matematyczne są rozrzucone po wszystkich jego pismach od najwcześniejszych do najpóźniejszych. Miejsca te zostały już zebrane i w literaturze naukowej omówione. Najdokładniej zrobił to Rothlauf w rozprawie Die Mathematik zu Platons Zeiten, Monachium 1878.
Pełnego obrazu nie można sobie z nich wytworzyć, jak daleko sięgały wiadomości matematyczne Platona. Pisma bowiem Platona nie są esoteryczne, nie są to wykłady dla małej garstki wtajemniczonych specjalistów jak pisma Aristotelesa; przeciwnie są to pisma exoteryczne, przeznaczone dla inteligentnego ogółu. Nie mógł więc Platon umieszczać w nich ścisłych i często trudnych wiadomości. I tak np. w Menonie chce wykazać, że wiedza (έπιστήμν) jest przypomnieniem sobie wiadomości, które dusza miała przed wcieleniem się w ciało (άνάμνησις). W tym celu woła niewolnika i przeprowadza z nim [7]jakieś matematyczne zadanie, kreśląc potrzebne figury w piasku. Rysując mianowicie coraz inne kwadraty i stawiając coraz nowe pytania doprowadza do twierdzenia, że chcąc narysować kwadrat dwa razy większy od danego kwadratu, trzeba bok kwadratu pomnożyć nie przez dwa, ale przez pierwiastek z dwu: To da się wykazać ścisłym dowodem przy pomocy twierdzenia t. zw. Pythagorasa. Platon udowodnił to tylko rysunkiem, nie wprowadzając twierdzenia Pythagorasa.
Z tego dowodu możnaby wysnuć wniosek, że znał geometryczną wartość 1, 2 liczby niewymiernej — jak dziś mówimy — algebraicznej; ale czy nie znał twierdzenie Pythagorasa? Argumentum ex silentio często zawodzi. O twierdzeniu Pythagorasa wiemy całkiem dokładnie, że on je znał, a nawet — jak wnet zobaczymy — rozszerzył. Ale gdybyśmy nie mieli innych danych, bylibyśmy na podstawie cytowanego miejsca z Menona skłonni sądzić, że Platon nie znał twierdzenia Pythagorasa. Jak widzimy na tym przykładzie, nie zawsze można z Dialogów wysnuć wniosku, jak daleko sięgała wiedza matematyczna Platona: Dialogi bowiem dają obraz pomniejszony wiedzy matematycznej Platona.
Tem mniej mogą dać obraz zasług Platona dla matematyki. Przypomina się mimowoli zdanie Thukydidesa (1 10): Gdyby Sparta kiedyś opustoszała i zostały tylko publiczne budynki i place i gdyby ktoś z potomnych po wielu wiekach chciał wnioskować z tych świątyń o wielkości i potędze Sparty, uważałby Spartę za daleko mniej potężną, niż w rzeczywistości była. Przeciwnie, gdyby ten sam los spotkał Atheny, toby potomni uważali ja za potężniejsza niż była, wnioskując z ilości i wielkości świątyń i budynków publicznych.
Przy pewnej dozie ostrożności można mimo to pewne wnioski wysnuć. Jednak nie wszystkie miejsca, w których Platon dotyka rzeczy matematycznych, nadają się dla naszych rozważań. Mianowicie dla matematyki nie mają wartości wzmianki matematyczne zabarwione mistycznie, w których występuje mistyka czy to liczbowa czy to geometryczna. Posłuchajmy, jaki Platon widzi związek między pierwiastkami wszechrzeczy a matematyką: on uczy, że formami zasadniczemi materji są dwa rodzaje trójkątów: 1. trójkąt prostokątny równoramienny i 2. połowa trójkąta równobocznego. Z tych trójkątów są złożone formy zasadnicze czterech [8]pierwiastków. Identifikuje je Platon z czterema wielościanami umiarowemi, t. zw. bryłami platońskiemi. I tak ogień jest czworościanem umiarowym, powietrze ośmiościanem, woda dwudziestościanem, ziemia sześcianem. Jak widać odrazu, z takich miejsc nie można snuć wniosków o wpływie Platona na rozwój matematyki.
Drugą grupę miejsc matematycznych tworzą partje związane z nauką o ideach. Stosunek idei platońskich, do tworów matematycznych należy do ontologji tak, że dla dociekań matematycznych te partje nie mają znaczenia. Trzeba z naciskiem podnieść, że w związku z nauką o ideach występuje u Platona — może pierwszy raz w historji matematyki — jasno, dobitnie i niedwuznacznie przekonanie, że twory matematyczne są niematerjalne, bezcielesne.
Ale trudno oprzeć się przekonaniu, że, gdyby Platon nie był zajmował sie problemami matematycznemi i gdyby się nie był zastanawiał nad istotą utworów matematycznych, nie byłby stworzył nauki o ideach. Dużo razy spotykamy się u Platona z twierdzeniem, że utwory matematyczne nie podpadają pod zmysły, można je tylko objąć rozumem zmysłami. Plutarchos w Quaest. conviv. VIII 92, 1 zachował nam pewną wiadomość, która w całej pełni potwierdza nasze stanowisko. Opowiada mianowicie, że Platon ganił Archytasa, Eudoxosa i Menaichmosa, którzy chcieli zagadnienie podwojenia sześcianu sprowadzić do wymierzenia go instrumentami, jak gdyby usiłowali w sposób niedozwolony uzyskać dwie proporcje ciągłe a : x = x : y i x : y = y : b. W ten sposób znoszą — powiada Platon — i niszczą zalety geometrji, ściągając ją z powrotem na stanowisko zmysłowe i zapominajac o tem, że geometrja ma się trzymać wiecznych i bezcielesnych obrazów duchowych.
Z tego opawiadania Plutarcha widać wyraźnie, jak bardzo zasłużył się Platon wobe: matematyki, akcentując tak silnie i konsekwentnie istotę utworów matematycznych.
Nim przejdę do omówienia pewnych szczegółów, chciałbym zaznaczyć, że uznanie tego lub owego twierdzenia za własność Platona jest kwestją dość trudną, często niemożliwą do rozwiązania, gdyż dzieł matematycznych z epoki przed Platonem ani z epoki Platona nie posiadamy. Należałoby pierwej zrobić dwie rzeczy: 1. zebrać i wydać wszystkie [9]zachowane fragmenty matematyków, przedewszystkiem przedeukleidesowych, i 2. napisać historję terminologji matematycznej. Dopiero wtedy będzie można z dużą dozą prawdopodobieństwa ułożyć jakąś chronologię i umieścić w jej ramach zasługi Platona.
Że Platon brał żywy udział w ruchu matematycznym swej epoki, widać między innemi także z tak zwanego problemu delijskiego, czyli zagadnienia podwojenia sześcianu. Zagadnienie podwojenia sześcianu jest starsze niż epoka Platona. Ale za Platona był ten problem — że tak powiem — modny, co się często w nauce zdarza.
Że problem podwojenia sześcianu był za Platona modny, dowodzi przede wszystkiem to, że wielu matematyków wspólłczesnych Platonowi, będących z Platonem w zażyłych stosunkach, zajmowało się tym problemem, jak Archytas z Tarenta, Menaichmos i sam Platon. Nadto dowodzi tego pewna anegdota, którą zachował Theon ze Smyrny (czasy Hadriana) w dziele τά ϰατά μαϑηματιϰόν χρήσιμα είς τήν τού Πλάτωνος άνάγνωσιν w wydaniu Hillera na str. 2 i Plutarchos w rozprawie De genio Socratis cap. 7 i De El apud Delphos cap. 6; opowiadają ci autorowie, że mieszkańcy wyspy Delos, na której panowała zaraza, zapytali boga, co mają uczynić, aby go przebłagać i uwolnić się od nieszczęścia. Bóg odpowiedział im, że należy podwoić wielkość ołtarza, który miał kształt sześcianu. Zwrócili się więc Delijczycy do Platona z prośbą aby im wyliczył, ile ma wynosić bok nowego ołtarza, tak by był dwa razy większy od tego, który mieli dotąd. Stąd pochodzi nazwa problem delijski. Anegdota ta dowodzi, że w wieku IV geometrja interesowała się zagadnieniem podwojenia sześcianu. Zagadnienie to wygląda tak: ile razy należy powiększyć krawędź sześcianu, aby się objętość sześcianu podwoiła? To jest oczywiste, że nie dwa razy, bo jeśli powiększymy krawędź dwa razy, powiększy się objętość 8 razy. Zagadnienie streszcza się w znalezieniu ∛2. Nad tem zagadnieniem mozoliła się ówczesna geometria. I Platon w tej dyskusji brał udział. I on próbował to zagadnienie rozwiązać. Dowodzi to znów; że 1. interesowały go problemy matematyczne, 2. że stał na wysokości ówczesnej matematyki.
Łatwo zrozumieć, że to szczegóły, które podniosłem, nie są wystarczające do uzasadnienia sądu, że Platon wywarł [10]wpływ na rozwój matematyki. Nie z tych też szczegółów uczeni ten wniosek wysnuwają, lecz z rzeczy natury ogólniejszej. O jednej już wspomniałem, o tem, że Platon silnie podkreślał istotę tworów matematycznych. Drugą rzeczą, którą należy położyć nacisk, jest następująca: wywarł wpływ na wyniki badań matematycznych przez wprowadzenie nowej metody dowodzenia, zwaną dziś dowodem regresywnym; w terminologji greckiej nazywa się ten dowód άνάλυσις. Diogenes z Laerty III 24 mówi: Platon pierwszy wprowadził metodę analityczną dla Leodamasa z Thasos, który dzięki niej poczynił wiele odkryć. Notatka Diogenesa z Laerty zdaje się mówić, że Platon zwrócił uwagę Leodamasowi na możliwość istnienia metody idącej drogą odwrotną niż synteza, a Leodamas zajął się tym problemem i opracował go. Metodą tą posługiwał się też inny uczeń Platona, Eudoxos, i przy jej pomocy doszedł do odkrycia nowych twierdzeń i związków. Dużo też z prac Eudoxosa skutkiem tego weszło do Elementów Eukleidesa.
Dotąd matematyka posługiwała się tylko dowodem progresywnym, zwanym przez starożytnych σύνϑεσις. Platon wprowadził nowy typ dowodu: dowód analityczny. Na czem polega różnica między dowodem analitycznym a syntetycznym, między σύνϑεσις a άνάλυσις, określił Eukleides w Appendix do ks. XIII Elementów do zadań 1—5: Τι έστιν άνάλυσις ϰαί τί έστι σύνϑεσις; Άνάλυσις μέν ούν έστι λήψις τού ξητουμένου ώς όμολογούμένου διά τών άϰολούϑων έπί τι άληϑές όμολογούμενον. Σύνϑεσις δέ ληψις τού όμολογουμένου διά τών άϰολούϑων έπί τι άληϑές όμολογούμενον (analiza to jest przyjęcie tego, co mamy udowodnić jako udowodnionego i dojście przez wnioski do jednego sądu już skądinąd uznanego za prawdziwy). Tak określa to Eukleides. Mam udowodnić prawdziwość sądu D. Przyjmuję więc, że sąd D jest prawdziwy. Z prawdziwości sądu D wynika prawdziwość sądu C. Z prawdziwości sądu C wynika prawdziwość sądu B. Z prawdziwości sądu B wynika prawdziwość sądu A. Skądinąd już wiem, że sąd A jest prawdziwy. Stąd wnioskuję, że i sąd D jest prawdziwy.
Synteza — mówi Eukleides — jest to przyjęcie jakiegoś sądu już uznanego za prawdziwy i dojście przez wnioski do prawdziwości sądu, który mamy udowodnić. Synteza idzie drogą odwrotną niż analiza. Mam udowodnić prawdziwość sądu D. Zaczynam rozumowanie nie od sądu D — jak w analizie — [11]ale od sądu A uznanego już za prawdziwy. Z niego wysnuwam drogą wnioskowania, że sąd B jest prawdziwy, z prawdziwości sądu B wysnuwam wniosek o prawdziwości sądu C, a z prawdziwości sądu C wnioskuję, że sąd D jest prawdziwy.
Użycie metody analitycznej w dowodzie prowadzi do tego, że musi się mieć pewne sądy uznane za prawdziwe: w przeciwnym razie byłby regressus ad infinitum. Musi więc ta metoda ustalić pewne definicje i przyjęć pewne axiomaty, pewniki. W szkole też Platona tę pracę zrobiono. W Elementach Eukleidesa zbudowana jest cała geometrja na definicjach i axiomatach.
Szkoła Platona stworzyła cały szereg definicyj; wiele z nich weszło do skarbca matematyki na zawsze. Jeszcze dziś np. matematyka określa powierzchnię jako granicę bryły tak samo, jak to powiedział Plato w Menonie 76A: λέγω είς δ τό στερεόν περαίνει τουτ είναι σχήμα. W Parmenidesie czytamy definicję koła taką, jaką znamy z naszej nauki szkolnej. Takich definicyj jest dużo rozrzuconych wśród pism Platona. Zebrał je i omówił Friedlein w Beiträge zur Geschichte der Mathematik.
W szkole Platona też omawiano i krystalizowane zasady axiomatów. Tak np. podaje Aristoteles, że z Akademji pochodzi pewnik: Jeśli od równych wielkości odejmiemy równe, zostaną równe reszty.
Przy dowodzie analitycznym często występuje na jaw kwestja, czy zagadnienie jest rozwiązalne i w jakich warunkach. Platon — zdaje się — pierwszy wyraźnie zwrócił na to uwagę i pierwszy silnie to zaakcentował. Są tego ślady i w dialogach. Np. w Menonie 86A pyta Sokrates — w związku
z miejscem, które wyżej omawiałem czy można kwadrat, o którym poprzednio była mowa, zamienić na trójkąt prostokątny równoramienny wpisany w koło tak, żeby przeciwprostokątnia była średnicą. Sokrates sam też odpowiada: Można i nie można. Można to zagadnienie rozwiązać, jeśli zaistnieją pewne warunki.
Pod wpływem Platona zaczęto w geometrji stosować konsekwentnie metodę dedukcyjną, podczas gdy dotąd często wystarczała indukcja i eksperyment. Jeszcze w pismach Platona są ślady starszych metod. I tak np. w Prawach p. 737 spotykamy ciekawy przykład znajomości nauki o [12]podzielnikach. Wylicza tam Platon, że liczba 5040 ma 59 różnych podzielników, wśród których występują wszystkie liczby od 1 do 10. Zgodne to jest z prawdą, ale droga, którą doszedł do tego wyniku, była indukcyjna: polegała na próbowaniu kolejnem liczby po liczbie, branych z szeregu naturalnego liczb.
Dość wysoko stała za Platona arytmetyka. W związku z arytmetyką chciałbym zwrócić uwagę na fakt ciekawy. Mam przekonanie, że właśnie w szkole Platona nastąpiło zupełne zgeometryzowanie arytmetyki, tzn. że w szkole Platona zaczęto konsekwentnie do matematyki wprowadzać wielkości wogóle zamiast liczb, więc zaczęto operować linjami, powierzchniami i objętościami: nie operowano, omawiając proporcje, liczbami, lecz odcinkiem linij prostych itd. Przed. Platonem zajmowano się głównie arytmetyką, geometrją była traktowana po macoszemu; istniał też przedział między temi dwiema dyscyplina: i. Szkoła Platona zajmowała się głównie geometrją; a i te problemy arytmetyczne, czy algebraiczne, które roztrząsała, ubierała w formy geometryczne. Wynikiem tego było, że już podręcznik Eukleidesa przedstawia całą wówczas znaną matematykę w postaci geometrycznej. Tą drogą kroczył dalej Apollonios z Pergai i Archimedes z Syrakuz. Dawno już minęły górne wzloty geometrji, kiedy u schyłku starożytności w w. III czy IV zjawił się genjalny arytmetyk Diophantos. Stereometrja w epoce Platona mimo znajomości wielościanów umiarowych, które wedle Herona w Definitiones 103 (Heib. IV 64) nazywały się bryłami Platońskiemi: ά δή ύπό τών Έλλήνων ύστερον έπωνομάσϑη Πλάτωνος σχήματαb — była jeszcze w powijakach. Na niski stan stereometrji narzeka Platon w Prawach p. 805. Dlatego też w Elementach Eukleidesa partja o stereometrji wypadła o wiele gorzej niż reszta dzieła. Jest to skutkiem tego, że w szkole Platona nad stereometrją mało pracowano.
W szkole Platona wydoskonalano - jeśli nie wynaleziono — metodę wyczerpywania. Polega ona na tem, że daną powierzchnię lub bryłę dzielimy wedle jakiejś normy na coraz więcej coraz mniejszych powierzchni lub brył. Np. spisujemy w koło trójkąt równoboczny, skutkiem czego między bokami trójkąta a obwodem koła leżą trzy odcinki. Połowimy każdy z trzech łuków i łączymy punkty podziału z końcami boków trójkąta czyli cięciw w kole i otrzymujemy nowe trzy trójkąty i nowych sześć odcinków. Czynność tę powtarzamy, t. zn. znowu połowimy każdy łuk i no znowu [13]łączymy punkty podziału z końcami cięciw i otrzymujemy świeżych sześć trójkątów i dwanaście odcinków — i tak idziemy dalej i w ten sposób wyczerpujemy pole trójkątami, których jest coraz więcej i które są coraz mniejsze. Dzięki metodzie wyczerpywania matematyka grecka wyeliminowała ze swych rozważań pojęcie wielkości nieskończonej.
Aby przejść do pewnych szczegółów charakterystycznych, nie zawadzi przypomnieć, że Platon uchodzi za tego, który rozwiązał równanie nieoznaczone x 2 + y 2 = z 2 (oczywiście w liczbach wymiernych), gdy x jest liczbą parzystą. W znaczeniu geometrycznem to równanie podaje związek między bokami trójkąta prostokątnego: x 2 + y 2 = suma kwadratów obu przyprostokątni, z 2 = kwadrat naprzeciwprostokątni. Twierdzenie t. zw. Pythagorasa powstało w szkole pythagorejskiej, może wynalazł je sam Pythagoras. Pythagorejczycy umieli budować trójkąty prostokątne, mając daną jedną przyprostokątnią jako liczbę nieparzystą, czyli umieli rozwiązywać równanie x 2 + y 2 = z 2, gdy x jest liczbą nieparzystą. Zdaje się, że prototypem tego równania jest trójkąt prostokątny o bokach 3, 4 i 5, gdzie 32 + 42 = 52. Potem Pythagorejczycy znaleźli formułkę dla trójkątów, w których mniejsza przyprostokątnia wynosi nie trzy, ale jakąkolwiek liczbę nieparzystą. Natomiast nie doszli do rozwiązywanie wypadków, w których mniejsza przyprostokątnia jest liczbą parzystą. To zagadnienie rozwiązał dopiero Plato, wykazując, że y = (x/2)2 − 1 a za
z = (x/2)2 + 1. Jeśli np. mniejsza przyprostokątnia wynosi 10, to większa wynosi (10/2)2−1 = 24, a przeciwprostokątnia wynosi (10/2)2 + 1 = 26. I rzeczywiście 262 − 242 = 102.
Wiadomość tę zachował Heron z Alexandrji w Geometrica 9 (Heib. IV 220 v. 21 nn.). Autor podaje w tym ustępie metodę budowania trójkątów prostokątnych o bokach oczywiście — wymiernych, jeżeli przyprostokątnia jest liczbą parzystą i nazywa tę metodę Μέϑοδος Πλάτωνος περί τριγώνου όρϑογωνίου. Mówi tak: έάν έπιταγής τρίγωνον όρϑογώνιον συστήσασϑαι ϰατά Πλάτωνα άπό πλήϑους άρτίου, ποίησον ούτως (jeśli otrzymasz polecenie zbudowania trójkąta prostokątnego według Platona, wychodząc od liczby parzystej, zrób tak). Właśnie wyżej pokazałem, jak Platon to rozwiązywał.
Widzieliśmy w toku rozważań, że Platon niejedną cegiełkę dorzucił swemi badaniami do budującego się gmachu [14]matematyki. Ale to nie jest jedyną jego zasługą. Wyżej niż to, co udowodnił i wykazał, stoją impulsy, które dawał uczniom swoim, zagadnienia, które stawiał, a które uczniowie rozwiązywali. To należy przyjąć jako pewne, że gdyby nie prace Platona i jego uczniów, nie byłyby Elementa Eukleidesa uzyskały tej ścisłości logicznej zwartości, która odtąd na zawsze została cechą matematyki. Zasługą Platona jest, że cały system jest zbudowany bez luk z definicyj i nielicznych pewników i założeń. Dlatego też podręcznik geometrji wydany przez Hippokratesa z Chios wnet stał się przestarzały: nie przeżył jednej generacji. Wnet wyszedł podręcznik matematyki ze szkoły Platona; napisał go jakiś Leon. Krótki był jego żywot, gdyż matematyka bardzo szybko postępowała naprzód. Wkrótce zjawił się trzeci podręcznik jakiegoś Theudiosa z Magnesji, ucznia Akademji. Ale i ten rychło okazał się niewystarczającym. Około r. 300 powstaje dopiero podręcznik tak zbudowany, że przetrwał wieki, Elementa Eukleidesa. Niech mi wolno będzie jeszcze raz podkreślić, że podwaliny pod ten gmach Elementów stworzył Platon przez to, że oparł nauczanie w swojej szkole na naukach matematycznych, przez to, że stawiał zagadnienia, wyszukiwał ludzi odpowiednich dla ich rozwiązywania i przez to, że do swej szkoły ściągał najznakomitszych przedstawicieli matematyki.
To też spełnił się wnet jego ideał i do szkoły w. III wprowadzano matematykę jako przedmiot obowiązkowy.
Nauka matematyki w szkole przechodziło różne koleje. Po Platonie, głównie dzięki staraniom Platona, nauka matematyki weszła do stałego programu wykształcenia, którego ideałem była έγϰυϰλοπαιδεία, termin, który oddajemy zwrotem ‘wykształcenie ogólne’. W średnich wiekach, które nie miały ambicji έγϰυϰλοπαιδεία, matematyka znowu upadła. Rektor Sorbonny Petrus de Dacia (1326 r.) uważał znajomość wielkiej tabliczki mnożenia od 1×1 do 50×50 za znaczny naukowy dorobek (pisze o tem Max Simon w tomie IV Baumeistra
Handbuch der Erziehungs- und Unterrichtslehre r. 1898). Fakt, że, gdy na początku wieku XIX zaczęto kłaść podwaliny pod szkolnictwo średnie, oparte na podstawach nowoczesnych, uznano, że matematyka powinna stać się istotnym składnikiem wykształcenia ogólnego, jest zasługą Platona, jedną z nienajmniejszych.
• PDF 
• MOBI 
