O wzorach służących do obliczenia liczby liczb pierwszych nie przekraczających danej granicy

Z Wikiźródeł, wolnej biblioteki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
>>> Dane tekstu >>>
Autor Antoni Baranowski
Tytuł O wzorach służących do obliczenia liczby liczb pierwszych nie przekraczających danej granicy
Data wydania 1895
Źródło skany na Commons
Inne Pobierz jako: Pobierz jako ePub Pobierz jako PDF Pobierz jako MOBI
Okładka lub karta tytułowa
Indeks stron
Ks. Biskup A. Baranowski.

O WZORACH
SŁUŻĄCYCH DO
OBLICZENIA LICZBY LICZB PIERWSZYCH
NIE PRZEKRACZAJĄCYCH DANEJ GRANICY.
Academia Litterarum Cracoviensis-logo.png
W KRAKOWIE.
NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.
SKŁAD GŁÓWNY W KSIĘGARNI SPÓŁKI WYDAWNICZEJ POLSKIEJ.
1895.
separator poziomy





Osobne odbicie z Tomu XXVIII. Rozpraw Wydziału matematyczno-przyrodniczego
Akademii Umiejętności w Krakowie.
Kraków, 1895. — W drukarni Uniwersytetu Jagiellońskiego, pod zarządem A. M. Kosterkiewicza.
separator poziomy






O wzorach
służących do obliczenia liczby liczb pierwszych
nie przekraczających danej granicy.
Przez
ks. biskupa A. Baranowskiego.

Rzecz przedstawiona na posiedzeniu Wydz. mat.-przyr. z dnia 2. lipca 1894 r.;
referent czł. Mertens.
separator poziomy

Od lat kilku zupełnie zależałem pole gramatyki, a ugrzązłem, raczej pogrążyłem się w matematyce, nie jako fachowy, ale jak dyletant, samouczek, bez prawideł, wskazówek i znajomości powszechnie przyjętych formuł. Napisałem kwadraty i sześciany liczb od do z ich różnicami. Potęgowałem liczby małe: Przy tej pracy poznałem stosunki i prawidła, o których później się dowiedziałem, że nazywane są dwumianem Newton’a. Zastanawiając się nad stosunkami i prawami wykładników, wpadłem na trop, który mię doprowadził do zbadania wielokształtu podzielności liczb złożonych. Przytem zbadałem wszystkie liczby w zakresie numeracyi od do ; potem do . Za wskazówką i poradą Dra Webera zapisałem sobie dzieło Wertheima „Die Theorie der Zahlen“, ale jego wykład i znakowanie — dla mnie, jako laika, były orzechami zanadto twardemi na moje zęby. Zainteresowała mię jednak funkcya , jako mająca związek z moją analizą liczb w celu znalezienia prawideł, zapomocą których mógłbym poznać, która liczba jest pierwszą, a jakie są cechy liczb złożonych. Przy pomocy Dra Hossfelda w Eisenach, poznałem zasady funkcyi . Opracowując tę funkcyę w zakresie do , potem do , wykryłem okresy symetrycznych luk między liczbami względnie pierwszemi, po usunięciu każdej z porządku z liczb pierwszych ze wszystkiemi przez nią podzielnemi liczbami i prawidło ogólne, że

oraz że .


Wykryta zaś symetrya luk w danym okresie, t. j. że luka 1-sza luce ostatniej, 2-ga przedostatniej , 3-cia z początku 3-ciej od końca i t. d. aż do połowy, czyli środka okresu, to jest do wskazała możność obliczenia na poczekaniu i zakresu numeracyi
,
oraz ,
gdyż
oraz
Zakomunikowałem te spostrzeżenia przez p. Webera Drowi Hossfeldowi, który przyznał im wielką wagę; ale potem zawiadomił mię, że już w roku 1872 Dr. Meissel te same prawa odkrył i ogłosił, tylko jeszcze nie wiedział o wewnętrznej symetryi okresów i dla tego wzór jego posiada tylko ale nie Wydrukował o tem za mojem przyzwoleniem króciutki artykulik o dopełnieniu przeze mnie wzoru Meissela. Artykulik wyszedł niefortunnie, bo przed wydrukowaniem nie przysłał mi go do przejrzenia. Wsadził doń bez potrzeby własnego pomysłu bez potrzeby i sensu. Kiedym go później przekonał, iż wszystkie trudności i pomyłki wyrażenie usuwa, przysłał mi do przejrzenia napisany do druku drugi artykulik o tem samem; ale jego objaśnienie , nie trafiło do mojego przekonania; moje zaś objaśnienie on uważał za naciągnięte. W ten sposób artykulik jego nie wyszedł z druku.
Dla większego jeszcze uproszczenia obliczeń funkcyi , ułożyłem analityczną tablicę okresu t. j. , która wielkie daje ułatwienie przy obliczaniu większych zakresów numeracyi.
Potem napisałem teoryę luk, których Dr. Hossfeld nie podjął się sprawdzić.
Nareszcie usunąwszy wszystkie liczby podzielne przez i , jako łatwe do poznania, zanalizowałem zakres numeracyi , czyli liczby wszystkie pierwsze w tym zakresie, oraz podzielne przez t. j. przez Spisałem na ogół liczb , oznaczając je właściwemi czynnikami n. p. i t. d.
Później z tego kajetu wypisałem osobno same tylko liczby pierwsze, to jest:

, , , .... .
Rule Segment - Wave - 40px.svg Rule Segment - Wave - 40px.svg Rule Segment - Wave - 35px.svg

Gustaw Wertheim w dziele „Elemente der Zahlentheorie“ (Leipzig 1887) rozwija i przykładem objaśnia następujący wzór Meissel’a do obliczenia w danym zakresie numeracyi liczb pierwszych str. 24.

oznacza tutaj, ile się zawiera liczb bezwzględnie pierwszych w zakresie numeracyi od
oznacza, ile liczb pierwszych znajduje się w sześciennym pierwiastku zakresu , czyli .
oznacza, ile liczb pierwszych znajduje się w pierwiastku kwadratowym , po odjęciu liczby tychże liczb, będących w pierwiastku sześciennym, czyli .

.

Wzór ten, dobry przy obliczaniu niewielkich zakresów numeracyi, kiedy nie przewyższa setek, tysięcy; znośny jeszcze i przy obliczaniu dziesiątek tysięcy; w wielkich zaś zakresach numeracyi, wymaga wiele miejsca, czasu i pracy. Można się o tem przekonać, obliczając choćby tylko

; ; ; ; ;

ponieważ zaś przeto
. Tego trzeba dowieść rachunkiem następującym.
Liczby te 14 są następujące: