Nauka i Metoda/Rozumowanie matematyczne/Ostatnie wysiłki Logistyków

Z Wikiźródeł, wolnej biblioteki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
<<< Dane tekstu >>>
Autor Henri Poincaré
Tytuł Ostatnie wysiłki Logistyków
Pochodzenie Nauka i Metoda /
Rozumowanie matematyczne
Data wydania 1911
Wydawnictwo G. Centnerszwer i Ska.
Drukarz Drukarnia Narodowa w Krakowie
Miejsce wyd. Warszawa
Tłumacz Maksymilian Horwitz
Źródło Skany na Commons
Inne Pobierz jako: Pobierz jako ePub (z zewnętrznego serwera) Pobierz jako PDF (z zewnętrznego serwera) Pobierz jako MOBI (testowo) (z zewnętrznego serwera)
Cały tekst
Pobierz jako: Pobierz Cały tekst jako ePub (z zewnętrznego serwera) Pobierz Cały tekst jako PDF (z zewnętrznego serwera) Pobierz Cały tekst jako MOBI (testowo) (z zewnętrznego serwera)
Cała Księga Druga
Pobierz jako: Pobierz Cała Księga Druga jako ePub (z zewnętrznego serwera) Pobierz Cała Księga Druga jako PDF (z zewnętrznego serwera) Pobierz Cała Księga Druga jako MOBI (testowo) (z zewnętrznego serwera)
Indeks stron
Rozdział V.
Ostatnie wysiłki Logistyków.
I.

Logistycy chcieli odpowiedzieć na poprzedzające rozważania. W tym celu zmuszeni byli przekształcić Logistykę, zwłaszcza Russell zmodyfikował w pewnych punktach pierwotne swe poglądy. Nie wkraczając w szczegóły tej dyskusji, chciałbym powrócić do dwu najważniejszych w moim rozumieniu pytań: czy reguły Logistyki dały dowód swej płodności i nieomylności? Czy prawdą jest, że pozwalają one dowieść zasady indukcji zupełnej bez żadnego odwoływania się do intuicji?

II.
Nieomylność Logistyki.

Co do płodności Logistyki, to zdaje się, że Couturat żywi naiwne złudzenia. Logistyka, mówi on, obdarza wynalazczość »szczudłami i skrzydłami«, i na stronicy następnej: »Dziesięć lat upływa, jak Peano ogłosił pierwsze wydanie swego Formularza«.
Jakżeto, już dziesięć lat macie skrzydła, i jeszczeście nie latali!
Mam najwyższy szacunek dla Peano, który zrobił bardzo ładne rzeczy (że przypomnę jego krzywą, zapełniającą całe pole); ale ostatecznie nie posunął się on ani dalej, ani wyżej, ani szybcej, niż większość matematyków bezskrzydłych, i mógłby był zrobić to równie dobrze za pomocą swych nóg.
Przeciwnie, widzę w logistyce jedynie pęta dla twórcy; bynajmniej nie pozwala nam ona zyskać na zwięzłości, i jeśli potrzeba 27 równań, by okazać, że 1 jest liczbą, to ileż ich będzie potrzeba, by dowieść prawdziwego twierdzenia? Jeżeli z Whiteheadem odróżniać będziemy indywiduum x, klasę, której jedynym członkiem jest x, i która nazywać się będzie x, dalej klasę, której jedynym członkiem jest klasa, której jedynym członkiem jest x, i która nazywać się będzie iix, to czyż te rozróżnienia, przy całej swej użyteczności, zaprawdę ulżą naszemu lotowi?
Logistyka zmusza nas do wypowiedzenia wszystkiego, co się zwykle przypuszcza domyślnie; zmusza nas ona do posuwania się krok za krokiem; jestto, być może, pewniejsze, lecz nie jest szybsze.
Nie skrzydła dajecie nam — prowadzicie nas raczej na pasku. Przeto mamy prawo żądać, żeby pasek ten chronił nas od upadku. Za tę tylko cenę możemy się nań zgodzić. Jeżeli papier wartościowy nie przynosi wielkich procentów, to musi on przynajmniej być tak pewny, jak pierwsza hypoteka.
Czy trzeba stosować się ślepo do waszych reguł? Zapewne, gdyż inaczej musielibyśmy kierować się intuicją przy ocenie ich wartości; skoro tak, tedy muszą one być nieomylne; ślepe zaufanie można żywić jedynie do nieomylnego autorytetu. Jestto zatym dla was nieodpartą koniecznością. Będziecie nieomylni — albo was nie będzie.
Nie macie prawa nam powiedzieć: »Mylimy się, przyznajemy to ale i wy się mylicie«. Dla nas mylić się jest nieszczęściem, bardzo wielkim nieszczęściem, — dla was jest to śmiercią.
Nie mówcie też: czyż nieomylność arytmetyki wyklucza błędy w dodawaniu? reguły rachunku są nieomylne, — mylą się ci, co nie stosują tych reguł; sprawdzenie ich rachunków wskaże odrazu, w jakiej chwili odchylili się od tych reguł. Tutaj jest zupełnie inaczej; logistycy zastosowali swoje reguły — i popadli w sprzeczności; i jestto w takim stopniu słuszne, że zabierają się oni do zmienienia swych reguł i »porzucenia pojęcia klasy«. I czemuż je zmieniać, jeśli są nieomylne?
»Nie jesteśmy zobowiązani, mówicie, do rozwiązywania hic et nunc wszelkich możliwych zagadnień«. Och, nie wymagamy od was aż tyle! jeśli nie dacie żadnego rozwiązania danego zagadnienia, nie zrobimy wam z tego najmniejszego zarzutu; lecz wy, przeciwnie, dajecie nam dwa rozwiązania i to ze sobą sprzeczne, tak iż jedno przynajmniej z nich jest fałszywe, i to właśnie jest bankructwem.
Russell usiłuje pogodzić te rzeczy sprzeczne, co, jego zdaniem, jest możliwe jedynie za cenę »zwężenia lub nawet porzucenia pojęcia klasy«. A Couturat, dyskontując powodzenie tej próby, dodaje: »Jeżeli logistycy podołają temu, co było ponad siły innych, Poincare raczy przypomnieć sobie to zdanie, i zasługę rozwiązania przypisać Logistyce«.
Ależ nie: Logistyka istnieje, posiada ona swój kodeks, który wyszedł już w czterech wydaniach; albo raczej kodeks ten jest samą Logistyką. Czy Russell zamierza wykazać, że jedno przynajmniej z dwu sprzecznych rozumowań przekroczyło nakazy tego kodeksu? Bynajmniej — chce on zmienić te prawa, znieść pewną ich ilość. Jeśli mu się to powiedzie, przypiszę tego zasługę intuicji Russella, nie Logistyce peańskiej, którą on tym samym obali.

III.
Prawo do sprzeczności.

Definicji liczby całkowitej, przyjętej przez Logistyków, postawiłem dwa główne zarzuty. Cóż odpowiada Couturat na pierwszy z tych zarzutów?
Co znaczy w matematyce wyraz istnieć? znaczy on, powiedziałem, być wolnym od sprzeczności. Couturat jest innego zdania: »Istnienie logiczne, mówi, jest czymś zupełnie innym, niż brakiem sprzeczności. Polega ono na fakcie, że pewna klasa nie jest próżna: powiedzieć: istnieją a — znaczy to, mocą definicji, twierdzić, że klasa a nie jest zerem«. Zapewne też twierdzić, że klasa a nie jest zerem, jestto, mocą definicji, twierdzić, że istnieją a. Lecz jedno z tych twierdzeń jest równie pozbawione sensu jak drugie, o ile obydwa nie znaczą, albo że można widzieć i dotykać a, co jest sensem, jaki im nadają fizycy i przyrodnicy, albo, że można operować pojęciem a, nie popadając w sprzeczności, co jest sensem, jaki im nadają logicy i matematycy.
Dla Couturat nie brak sprzeczności dowodzi istnienia lecz istnienie dowodzi braku sprzeczności. Ażeby ustanowić istnienie pewnej klasy, trzeba przeto ustanowić przez przykład, że istnieje indywiduum, należące do tej klasy. »Ale, powie kto, jakże się dowodzi istnienia tego indywiduum? Czy istnienie to nie musi być ustanowione, aby można zeń było wyprowadzić istnienie klasy, do której ono należy? Otóż nie; jakkolwiek się to może wydawać paradoksalnym, nie dowodzi się nigdy istnienia indywiduum. Indywidua, przez to samo, że są indywiduami, są zawsze uważane za istniejące. Nigdy nie zachodzi potrzeba wyrażenia, że indywiduum istnieje w znaczeniu absolutnym, lecz jedynie, że istnieje ono w pewnej klasie«. Couturat uważa swe własne powiedzenie za paradoksalne, nie będzie on z pewnością sam jeden tylko tego zdania. Musi ono przecie mieć jakiś sens; chce on zapewne powiedzieć, że istnienie indywiduum, które byłoby samo jedne na świecie, i o którym nie twierdzi się nic, nie może doprowadzić do sprzeczności; dopóki będzie ono samo, nie będzie ono oczywiście nikomu zawadzało. Niechajże będzie: przypuścimy istnienie indywiduum »w znaczeniu absolutnym«, ale nie będziemy mogli nic z nim począć; wypadnie wam ponadto dowieść istnienia indywiduum »w pewnej klasie«, i w tym celu będziecie zawsze musieli okazać, że twierdzenie: to indywiduum należy do tej klasy — nie jest sprzeczne ani samo w sobie, ani w stosunku do innych przyjętych postulatów.
»Jestto tedy wymaganiem dowolnym i nieprawnym, ciągnie dalej Couturat, gdy się twierdzi, że definicja posiada wartość o tyle tylko, o ile się uprzednio dowiedzie, że nie zawiera ona sprzeczności«. Couturat głosi tu w wyrazach, nad które nie masz energiczniejszych i dumniejszych — prawo do sprzeczności. »W każdym razie onus probandi przypada tym, którzy sądzą, że zasady te są sprzeczne«. O postulatach mniemać należy, że są zgodne ze sobą, dopóki ktoś nie dowiedzie, że tak nie jest, podobnie jak o oskarżonym, że jest niewinny.
Niepotrzeba chyba dodawać, że nie godzę się na ten pogląd. Ależ, odpowiedzą nam, dowód, którego od nas wymagacie jest niemożliwy, nie możecie nas wzywać do »chwytania księżyca zębami«. Za pozwoleniem, niemożliwym jest on dla was — nie dla nas, którzy przyjmujemy zasadę indukcji, jako sąd syntetyczny a priori. A będzie to koniecznym zarówno dla was, jak dla nas.
Żeby dowieść, że w pewnym układzie postulatów nie tkwi sprzeczność, trzeba stosować zasadę indukcji zupełnej; ten tryb rozumowania nietylko niema w sobie nic »dziwacznego«, ale jestto jedyny poprawny. Nie jest »nieprawdopodobne«, aby go kiedykolwiek używano; nietrudno jest znaleść na to »przykłady i precedensy«. Przytoczyłem dwa takie przykłady w moim artykule, wzięte z broszury Hilberta. Nie jest on jedynym, który go używał, a ci, co tego nie robili, nie mieli słuszności. Zarzuciłem Hilbertowi nie to, że się uciekł do tego rozumowania (matematyk tak rasowy, jak on, nie mógł nie widzieć, że potrzeba było dowodu, i że ten dowód był jedynym możliwym), lecz, że się doń uciekł i zarazem nie poznał w nim rozumowania przez rekurencję.

IV.
Zarzut drugi.

Wskazałem na drugi błąd logistyków w artykule Hilberta; dziś Hilbert jest wyklęty, i Couturat nie uważa go już za logistyka; zapyta mnie on tedy, czy znalazłem ten sam błąd u logistyków prawowiernych. Nie, nie widziałem go na kartach, które przeczytałem; nie wiem, czy go znajdę na trzystu stronicach, które napisali, a których nie mam ochoty czytać.
Ale będą musieli popełnić ten błąd w chwili, w której zechcą wyciągnąć z nauki matematycznej jakiekolwiek zastosowanie. Nie jest zadaniem tej nauki wpatrywać się wiecznie w swój własny pępek; przylega ona do przyrody i tej czy innej chwili zetknie się z nią; i owej chwili trzeba będzie otrząsnąć się z definicji czysto werbalnych i przestać zadawalać się słowami.
Powróćmy do przykładu Hilberta; idzie wciąż o rozumowanie przez rekurencję, i o kwestję, czy dany układ postulatów nie zawiera sprzeczności. Couturat powie mi, bez wątpienia, że w takim razie go to nie dotyka, — lecz nie będzie to, być może, bez interesu dla tych, którzy nie dopominają się, jego wzorem, prawa do sprzeczności.
Chcemy, jak powyżej dowieść, że nie napotkamy sprzeczności po jakiejkolwiek, dowolnie wielkiej, ilości rozumowań byle ilość ta była skończona. W tym celu trzeba zastosować zasadę indukcji. Czy należy tu rozumieć przez liczbę całkowitą każdą liczbę, do której się, mocą definicji, stosuje zasada indukcji? Oczywiście nie, bo w przeciwnym razie doprowadziłoby nas to do wielce nie dogodnych konsekwencji.
Żeby mieć prawo założyć pewien układ postulatów, musimy być upewnieni, że nie tkwi w nich sprzeczność. Jestto prawda, przyjęta przez większość uczonych, powiedziałbym przez wszystkich, gdybym nie przeczytał ostatniego artykułu Couturat. Ale cóż ona mówi? Czy znaczy ona tyle: musimy być pewni, że nie napotkamy sprzeczności po skończonej ilości twierdzeń, przy czym liczbą skończoną jest mocą definicji liczba, która posiada wszystkie własności o charakterze rekurencji, tak iż, gdyby jednej z tych własności było brak, gdybyśmy np. trafili na sprzeczność, tedy umówimy się uważać taką liczbę za nieskończoną?
Innemi słowy, czy chcemy powiedzieć: musimy być pewni, że nie napotkamy sprzeczności, z warunkiem, że umówimy się, że się zatrzymamy właśnie na chwilę przed jej napotkaniem? Wystarczy wypowiedzieć taki pogląd, aby go potępić.
Tak więc rozumowanie Hilberta nietylko zakłada zasadę indukcji, lecz zakłada, że zasada ta jest nam dana nie jako prosta definicja lecz jako sąd syntetyczny a priori.
Streszczając:
Dowód jest niezbędny.
Jedynym dowodem możliwym jest dowód przez rekurencję.
Jest on uprawniony o tyle tylko, o ile przyjmie się zasadę indukcji, i zasadę tę uważa się nie za definicję lecz za sąd syntetyczny.

V.
Antynomje cantorowskie.

Przejdę teraz do rozpatrzenia nowej rozprawy Russella. Rozprawa ta została napisana w celu pokonania trudności, wywołanych przez owe antynomje cantorowskie, do których wielekroć już robiliśmy aluzje. Cantor sądził, że może zbudować Naukę Nieskończoności; inni również poszli po drodze, przezeń otworzonej, lecz rychło potknęli się o dziwne sprzeczności. Z pośród tych licznych już sprzeczności najsławniejszemi są:
1-o Antynomja Burali-Fortiego;
2-o Antynomja Zermelo-Königa;
3-o Antynomja Richarda.
Cantor dowiódł, że liczby porządkowe (idzie tu o liczby porządkowe nadskończone, pojęcie nowe przezeń wprowadzone) mogą być uszykowane w szereg linjowy, to znaczy, że z dwu liczb porządkowych nierównych, jedna jest zawsze mniejsza od drugiej. Burali-Forti dowodzi, że jest przeciwnie; jakoż, brzmi w streszczeniu jego rozumowanie, jeżeliby można było uszykować wszystkie liczby porządkowe w szereg linjowy, szereg ten definjowałby liczbę porządkową większą od wszystkich innych; możnaby do niej dodać jeszcze 1, co dałoby liczbę porządkową jeszcze większą, co jest sprzeczne z powyższym.

Powrócimy później do antynomji Zermelo-Königa o charakterze nieco odmiennym; a oto na czym polega antynomja Richarda (Revue générale des Sciences, 30 czerwca 1905). Rozważmy wszystkie liczby dziesiętne, które można zdefinjować zapomocą skończonej ilości słów; dziesiętne te liczby stanowią zespół E; i łatwo jest stwierdzić, że zespół ten jest odliczalny, to znaczy, że można ponumerować poszczególne liczby dziesiętne tego zespołu od 1 do nieskończoności. Przypuśćmy, że to ponumerowanie zostało dokonane, i zdefinjujmy liczbę N w następujący sposób, Jeżeli n-y znak dziesiętny n-ej liczby zespołu E jest
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
tedy n-ym znakiem dziesiętnym liczby N będzie
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1.

Jak stąd widać, N nie jest równe n-ej liczbie E, a ponieważ n jest jakiekolwiek, przeto N nie należy do E, a przecież N powinnoby należeć do tego zespołu, boć zdefinjowaliśmy je zapomocą skończonej ilości słów.
Zobaczymy później, że sam Richard dał wielce przenikliwe wytłumaczenie tego paradoksu, i że wytłumaczenie to daje się rozciągnąć mutatis mutandis na inne analogiczne paradoksy. Russell przytacza nadto jeszcze jedną dość zabawną antynomję.
Jaka jest najmniejsza zpośród wszystkich liczb, których nie można zdefinjować za pomocą zdania utworzonego z mniej niż stu polskich wyrazów?
Liczba ta istnieje; albowiem ilość liczb, które można zdefinjować zapomocą takiego zdania, jest skończona, gdyż ilość wyrazów w języku polskim jest skończona; zatym wśród nich będzie jedna liczba mniejsza od wszystkich innych.
A jednak — z drugiej strony — liczba ta nie istnieje, gdyż w definicji jej tkwi sprzeczność. Liczba ta jest bowiem zdefinjowana przez zdanie wydrukowane kursywą, które jest utworzone z mniej niż stu polskich wyrazów; a mocą definicji liczba ta nie powinna móc być zdefinjowana zapomocą takiego zdania.


VI.
Zigzag-theory i No-classes-theory.

Jakaż jest postawa Russella wobec tych sprzeczności? Zanalizowawszy te, o których mówiliśmy przed chwilą, i przytoczywszy inne jeszcze, nadawszy im postać, która przypomina Epimenidesa, nie waha się on wywnioskować:
»A propositional function of one variable does not always determine a class«. Funkcja propozycyjna (to znaczy definicja) nie zawsze określa pewną klasę. »Propositional function« lub »norm« może nie być »predykatywną« (orzekającą). I nie znaczy to, że te niepredykatywne twierdzenia określają klasę próżną, klasę zero; nie znaczy, że niema żadnej wartości x, odpowiadającej definicji i mogącej być jednym z elementów klasy. Elementy istnieją, lecz nie mają prawa zrzeszyć się, by utworzyć klasę.
Ale jestto dopiero początek i trzeba umieć poznać, czy dana definicja jest lub nie jest predykatywną; aby rozwiązać to zadanie, Russell waha się między trzema teorjami, które nazywa
A. The zigzag-theory;
B. The theory of limitation of size;
C. The no classes theory.
Według zigzag-theory: »definicje (funkcje propozycyjne), określają klasę, kiedy są bardzo proste, przestają zaś ją określać jedynie wówczas, gdy są skomplikowane i niejasne«.
Któż zdecyduje, czy definicję można uważać za dostatecznie prostą? Na pytanie to niema odpowiedzi, raczej lojalne przyznanie się do bezsilności: »reguły, które pozwolilłyby poznać, czy definicje te są predykatywne, byłyby niezmiernie skomplikowane, i nie przemawiają za niemi żadne przekonywujące racje. Brakowi temu mogłaby zaradzić dowcipniejsza pomysłowość lub oparcie się o rozróżnienia jeszcze nie zaznaczone. Ale dotychczas przy poszukiwaniu tych reguł nie powiodło się znaleźć innej zasady kierowniczej, jak brak sprzeczności«.
Teorja ta pozostaje tedy dosyć ciemna; jeden tylko ognik rozświetla mroki: jestto wyraz zigzag. To, co Russell nazywa »zigzag-giness« jestto zapewne owa cecha osobliwa, charakteryzująca argument Epimenidesa.
Według theory of limitation of size, klasa traciłaby prawo istnienia skoroby się stawała zbyt rozległa. Wolnoby jej było, być może, być nieskończoną, byle nie była nią zbytnio.
I stajemy znowu wobec tej samej trudności: w jakiej to chwili zacznie ona być zbyt nieskończoną? Rozumie się, że trudności tej nie pokonano, i Russell przechodzi do teorji trzeciej.
W no classes theory zabronione jest wymawianie wyrazu klasa, i wyraz ten należy zastępować urozmaiconemi omówieniami. Co za zmiana dla logistyków, którzy mówią ciągle o klasach i klasach klas! Wypadnie przerobić odnowa całą Logistykę. Wyobraźcie sobie stronicę Logistyki po usunięciu wszystkich twierdzeń, w których jest mowa o klasach. Pozostanie jedynie kilka przeżytków, rozsypanych na białej stronicy. Apparent rari nantes in gurgite vasto.
Jakkolwiekbądź, takie są wahania Russella, modyfikacje, którym podda zasady podstawowe, przyjęte przezeń po dziśdzień. Potrzeba będzie kryterjów dla zdecydowania, czy definicja jest zbyt skomplikowana lub zbyt rozległa, i kryterjów tych niepodobna będzie usprawiedliwić inaczej, jak przez odwołanie się do intuicji.
Ostatecznie Russell przechyla się ku no classes theory.
Jakkolwiek bądź, Logistyka ma być przebudowana odnowa, i trudno powiedzieć, co z niej uda się uratować. Zbyteczna dodawać, że zagrożone są jedynie Cantoryzm i Logistyka; prawdziwa matematyka, ta, która do czegoś służy, będzie mogła nadal się rozwijać według swych zasad własnych, nie troszcząc się o burze, szalejące poza nią, i sięgać krok za krokiem po zwykłe swe zdobycze, które są ostatecznemi i których nie wypada im nigdy porzucać.


VII.
Prawdziwe rozwiązanie.

Jaki mamy zrobić wybór z pośród tych różnych teorji? Sądzę, że rozwiązanie jest zawarte w liście Richarda, o którym mówiłem wyżej, i który można znaleźć w Revue Générale des Sciences z 30 czerwca 1905 r. Wyłożywszy antynomję, którą nazwaliśmy antynomją Richarda, daje on jej wytłumaczenie.
Przypomnijmy sobie, cośmy powiedzieli o tej antynomji w § V; E jest zespołem wszystkich liczb, które można zdefinjować zapomocą skończonej ilości słów, nie wprowadzając pojęcia samego zespołu E. W przeciwnym razie definicja E zawierałaby błędne koło; nie można definjować E przez sam zespół E. Otóż zdefinjowaliśmy N wprawdzie zapomocą skończonej ilości słów, lecz opierając się na zespole E. I dlatego N nie stanowi części E.
W przykładzie, wybranym przez Richarda, wniosek nasuwa się z całą oczywistością, i oczywistość ta wyda się jeszcze większą, kiedy odniesiemy się do samego tekstu jego listu. I to samo wytłumaczenie stosuje się do innych antynomji, jak łatwo jest sprawdzić.
Tak więc definicjami, które należy uważać za niepredykatywne, są te, które zawierają błędne koło. Przykłady, rozpatrzone powyżej, dostatecznie wykazują, co przez to rozumiem. Czy to właśnie Russell nazywa »zigzag-giness«? Pytanie to zadaję, nie rozwiązując go.

VIII.
Dowody zasady indukcji.

Rozpatrzmy teraz domniemane dowody zasady indukcji, w szczególności dowody Whiteheada i Burali-Fortiego.
Rozpocznijmy od dowodu Whiteheada i skorzystajmy z kilku nowych terminów, szczęśliwie wprowadzonych przez Russella w jego świeżej rozprawie.
Nazwijmy klasą rekurentną, wszelką klasę liczb, zawierającą zero, oraz zawierającą n + 1 o ile zawiera n.
Nazwijmy liczbą induktywną wszelką liczbę, wchodzącą do wszystkich klas rekurentnych.
Pod jakim warunkiem ta ostatnia definicja, odgrywająca istotną rolę w dowodzie Whiteheada, będzie »predykatywną«, a przeto się nada?
Według tego, co poprzedza, przez wszystkie klasy rekurentne należy rozumieć wszystkie te, do których definicji nie wchodzi pojęcie liczby induktywnej.
W przeciwnym razie wpadamy znowu w błędne koło, które zrodziło antynomje.
Otóż Whitehead nie zachował tej ostrożności.
Rozumowanie Whiteheada jest tedy wadliwe; jestto to samo rozumowanie, które doprowadziło do antynomji; było ono nieprawnym, kiedy dawało rezultaty błędne; pozostaje nieprawnym, kiedy wypadkiem prowadzi do rezultatu prawdziwego.
Definicja, zawierająca błędne koło, nie definjuje nic. Nic nie pomoże powiedzenie, że jesteśmy pewni, jakiekolwiek znaczenie nadamy naszej definicji, że przynajmniej zero należy do klasy liczb induktywnych; nie o to idzie, czy klasa ta jest próżna, lecz o to, czy można ją ściśle odgraniczyć. Klasa »niepredykatywna« to nie jest klasa próżna, lecz klasa, której granice są niewyraźne.
Zbyteczna zaznaczyć, że szczególny ten zarzut pozostawia nietkniętemi zarzuty ogólne, stosujące się do wszystkich dowodów.

IX.

Burali-Forti dał inny dowód w swym artykule Le Classi finite (»Atti di Torino«, t. XXXII). Lecz musi on przyjąć dwa postulaty:

Pierwszy, że istnieje zawsze przynajmniej jedna klasa nieskończona.
Drugi brzmi, jak następuje:
u ε K (K — ɩ Λ).. u < υ′u

Pierwszy postulat nie jest bardziej oczywisty, niż zasada, o której dowód idzie; drugi nietylko nie jest oczywisty lecz jest nieprawdziwy; jak to okazał Whitehead, jak zresztą zauważyłby odrazu każdy kret, jeśliby ten pewnik został wyrażony w języku zrozumiałym, gdyż znaczy on tyle: ilość kombinacji, które można utworzyć z kilku przedmiotów, jest mniejsza niż ilość tych przedmiotów.

X.
Pewnik Zermelo.

W słynnym swym dowodzie Zermelo opiera się na następującym pewniku:
W jakimkolwiek zespole (lub nawet w każdym zespole zespołu zespołów) można zawsze wybrać na chybi trafi element (nawet jeśliby ten zespół zespołów zawierał nieskończoność zespołów). Pewnik ten stosowano tysiące razy, nie formułując go, ale skoro tylko go sformułowano, wywołał on wątpliwości. Niektórzy matematycy, jak Borel, stanowczo go odrzucili; w innych budzi on podziw. Zobaczmy, co o nim myśli Russell według jego ostatniego artykułu.
Nie wypowiada się on za ani przeciw, ale rozważania, którym się oddaje, są wysoce suggiestywne.
Przedewszystkim malowniczy przykład: przypuśćmy, że posiadamy tyle par butów, ile istnieje liczb całkowitych, tak iż moglibyśmy ponumerować pary od 1 do nieskończoności — ile będziemy mieli butów? Czy ilość butów będzie równa ilości par? Tak, jeśli w każdej parze but prawy różni się od buta lewego; istotnie, wystarczy wówczas nadać numer 2n - 1 butowi prawemu n-ej pary, i numer 2n butowi lewemu n-ej pary. Nie, — jeśli but lewy jest taki sam jak prawy, gdyż podobna operacja stanie się niemożliwa. Chyba, że się przyjmie pewnik Zermelo, ponieważ wówczas można będzie wybrać w każdej parze na chybi trafi but, który się będzie uważało za prawy.

XI.
Wnioski.

Dowód, istotnie oparty na Analitycznej Logice, składać się będzie z szeregu twierdzeń; jedne, które służyć będą jako przesłanki, będą tożsamościami lub definicjami; inne wyprowadzać się będą z tamtych krok za krokiem; a chociaż łącznia między każdym twierdzeniem a twierdzeniem następnym będzie bezpośrednio widoczna, nie będzie widać od pierwszego rzutu oka, jak można było przejść od pierwszego twierdzenia do ostatniego, które będzie się mogło wydawać nową prawdą. Skoro przecież zastąpi się kolejno każde figurujące w nich wyrażenie przez jego definicję, i posunie tę operację możliwie daleko, w końcu pozostaną jedynie tożsamości, i wszystko sprowadzi się do jednej olbrzymiej tautologji. Logika pozostanie tedy jałową, o ile nie zostanie zapłodniona przez intuicję.
Oto co napisałem niegdyś; logicy wyznają pogląd przeciwny i sądzą, że pogląd ten uzasadnili, dając istotne dowody nowych prawd. Jakiż jest mechanizm tych dowodów?
Dlaczego przez zastosowanie do ich rozumowań opisanego powyżej postępowania, to znaczy przez zastąpienie zdefinjowanych wyrażeń przez ich definicje, nie doprowadzamy ich do roztopienia się w tożsamości podobnie jak zwykłe rozumowania? Dlatego, że postępowanie to nie daje się do nich zastosować. I czemu to? bo definicje ich nie są predykatywne, zawierają one owe ukryte błędne koła, na które wyżej zwróciłem uwagę; definicje niepredykatywne nie mogą być wstawione na miejsce zdefinjowanego wyrażenia. Wobec tego Logistyka przestaje być jałową, rodzi ona antynomję.
Definicje niepredykatywne zostały zrodzone przez wiarę w istnienie nieskończoności aktualnej (spełnionej). Albowiem w definicjach tych figuruje wyraz wszystkie, jak to widać z przytoczonych przez nas przykładów. Wyraz wszystkie posiada znaczenie całkiem jasne, kiedy idzie o skończoną ilość przedmiotów; żeby przy nieskończonej ilości przedmiotów można było wziąć jeszcze jeden przedmiot, musi istnieć nieskończoność aktualna. W przeciwnym razie niepodobna będzie pojmować wszystkich tych przedmiotów, jako założonych przed ich definicją, i wówczas, jeśli definicja pojęcia N zależy od wszystkich przedmiotów A, może być ona obciążona błędnym kołem, jeżeli śród przedmiotów A znajdują się takie, których nie można zdefinjować, nie posiłkując się samym pojęciem N.
Reguły logiki formalnej wyrażają poprostu własności wszystkich możliwych klasyfikacji. Warunkiem wszelako ich stosowalności jest, żeby klasyfikacje te były niewzruszone, żeby nie trzeba ich było modyfikować w trakcie rozumowania. Jeżeli idzie jedynie o klasyfikację skończonej ilości przedmiotów, łatwo jest zachować klasyfikacje bez zmiany. Jeżeli ilość przedmiotów jest nieoznaczona, to znaczy, jeżeli się jest ustawicznie narażonym na pojawianie się przedmiotów nowych i nieprzewidzianych, zdarzyć się może, że zjawienie się nowego przedmiotu zmusi do zmodyfikowania klasyfikacji, i w ten sposób jest się narażonym na antynomje.
Niema nieskończoności aktualnej; cantorowcy o tym zapomnieli i popadli w sprzeczności. Cantoryzm oddał wprawdzie usługi, ale wówczas tylko, kiedy go stosowano do prawdziwego zagadnienia, którego wyrazy były jasno określone, i wtedy można było posuwać się naprzód bez obawy.
Logistycy, podobnie jak cantorowcy, zapomnieli o tym, i oparli się o te same trudności. Ale idzie o to, czy weszli oni na tę drogę dzięki przypadkowi, czy też było to dla nich koniecznością.
Dla mnie jestto kwestja niewątpliwa; wiara w nieskończoność aktualną jest nieodłączna od logistyki russellowskiej. To właśnie odróżnia ją od logistyki hilbertowskiej. Hilbert staje na punkcie widzenia rozciągłości [extension] właśnie po to, by uniknąć antynomji cantorowskiej; Russell staje na punkcie widzenia zrozumiałości [compréhension]. Przeto rodzaj poprzedza dlań gatunek, a summum genus poprzedza wszystko. Nie nastręczałoby to niedogodności, gdyby summum genus był skończony; ale jeśli jest on nieskończony, trzeba założyć nieskończoność przed skończonością, to jest uważać nieskończoność za aktualną.
I nietylko z nieskończonemi klasami mamy do czynienia; kiedy przechodzimy od rodzaju do gatunku, zwężając pojęcie przez wprowadzenie nowych warunków, ilość tych warunków jest znowu nieskończona. Albowiem wyrażają one zazwyczaj, że rozważany przedmiot związany jest taką lub inną zależnością z wszystkiemi przedmiotami nieskończonej klasy.
Ale to wszystko — należy już do historji. Russell zauważył niebezpieczeństwo i zaradzi mu. Zmieni wszystko; i niechaj nie będzie nieporozumienia: gotuje się on nietylko do wprowadzenia nowych zasad, które pozwolą na działania dawniej zakazane; gotuje się również do zabronienia działań, które dawniej uważał za uprawnione. Nie zadawala się czczeniem tego, co palił; co ważniejsza: spali to, co czcił. Nie dodaje nowego skrzydła do budowli, podkopuje jej fundamenty.
Dawna Logistyka umarła, i to w takim stopniu, że zigzag-theory i no classes-theory wiodą już ze sobą spór o puściznę po niej. Ażeby osądzić nową, poczekamy, aż będzie istniała.


Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronach autora: Henri Poincaré i tłumacza: Maksymilian Horwitz.