Nauka i Metoda/Rozumowanie matematyczne/Definicje matematyczne a Nauczanie

Z Wikiźródeł, wolnej biblioteki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
<<< Dane tekstu >>>
Autor Henri Poincaré
Tytuł Definicje matematyczne a Nauczanie
Pochodzenie Nauka i Metoda /
Rozumowanie matematyczne
Data wydania 1911
Wydawnictwo G. Centnerszwer i Ska.
Druk Drukarnia Narodowa w Krakowie
Miejsce wyd. Warszawa
Tłumacz Maksymilian Horwitz
Źródło Skany na Commons
Inne Pobierz jako: Pobierz jako ePub (z zewnętrznego serwera) Pobierz jako PDF (z zewnętrznego serwera) Pobierz jako MOBI (testowo) (z zewnętrznego serwera)
Cały tekst
Pobierz jako: Pobierz Cały tekst jako ePub (z zewnętrznego serwera) Pobierz Cały tekst jako PDF (z zewnętrznego serwera) Pobierz Cały tekst jako MOBI (testowo) (z zewnętrznego serwera)
Cała Księga Druga
Pobierz jako: Pobierz Cała Księga Druga jako ePub (z zewnętrznego serwera) Pobierz Cała Księga Druga jako PDF (z zewnętrznego serwera) Pobierz Cała Księga Druga jako MOBI (testowo) (z zewnętrznego serwera)
Indeks stron


Rozdział II.
Definicje matematyczne a nauczanie.

1. Mam mówić tutaj o ogólnych definicjach w matematyce; tak przynajmniej opiewa tytuł tego rozdziału, nie potrafię wszakże zamknąć się w tym przedmiocie tak, jakby tego wymagała reguła jedności akcji; nie będę go mógł traktować, nie zahaczając trochę o inne kwestje pobliskie, i jeśli zmusi mnie to do wkraczania od czasu do czasu na zagony brzeżne z prawa i z lewa, czytelnicy moi zechcą mi to przebaczyć.
Cóż to jest dobra definicja? Dla filozofa czy dla uczonego jestto definicja, stosująca się do wszystkich zdefinjowanych przedmiotów, i stosująca się jedynie do nich: jestto definicja, czyniąca zadość regułom logiki. W nauczaniu wszakże jest inaczej: dobrą definicją jest ta, która jest zrozumiała dla uczniów.
Czym się dzieje, że istnieje tyle umysłów opornych rozumieniu matematyki? Czyż nie jest w tym coś paradoksalnego? Jakże to, oto nauka, która odwołuje się jedynie do podstawowych zasad logiki, np. do zasady sprzeczności, do tego, co stanowi poniekąd szkielet naszej umysłowości, z czego nie możnaby się wyzuć, nie przestając myśleć, — i są ludzie, którzy uważają ją za niejasną! i ludzie ci stanowią nawet większość! Że nie są w stanie sami tworzyć, to jeszcze ujdzie, ale że nie rozumieją dowodów, jakie im się wykłada, że pozostają ślepi, gdy ofiarowujemy im światło, które nam zdaje się świecić najczystszym blaskiem, to już jest dziw nad dziwy.
A przecież nie trzeba mieć za sobą wielkiej praktyki egzaminacyjnej, żeby wiedzieć, że ci ślepi nie są bynajmniej istotami wyjątkowemi. Stoimy tu wobec niełatwej do rozwiązania kwestji, którą muszą się jednak zajmować wszyscy ci, co się chcą poświęcić nauczaniu.
Co znaczy: rozumieć? Czy wyraz ten ma to samo znaczenie dla każdego? Czy zrozumieć dowód pewnego twierdzenia znaczy zbadać kolejno każdy z sylogizmów, które się nań składają, i stwierdzić, że jest on poprawny, odpowiadający regułom logiki? Podobnież czy zrozumieć definicję, to znaczy stwierdzić jedynie, że się zna już znaczenie wszystkich użytych terminów, i że nie zawiera ona żadnej sprzeczności wewnętrznej?
Tak jest dla niektórych; kiedy stwierdzą to, tedy powiedzą: zrozumiałem. Tak nie jest — dla większości. Wszyscy niemal są o wiele bardziej wymagający, chcą wiedzieć nietylko, czy wszystkie sylogizmy danego dowodu są poprawne, ale nadto, dlaczego wiążą się one w takim porządku a nie w innym. Dopóki wydają się im one wytworem kaprysu nie zaś umysłu bezustannie świadomego celu, do którego zmierza, sądzą oni, że nie zrozumieli.
Zapewne nie zdają sobie oni sami dobrze sprawy, czego wymagają, i nie umieliby sformułować swych życzeń, ale nie są zadowoleni, czują niewyraźnie, że coś im brakuje. Cóż następuje wówczas? Na początku postrzegają oni jeszcze rzeczy oczywiste, które się im przedkłada; ponieważ jednak są one związane z poprzedzającemi i z następującemi nicią zbyt cienką, przesuwają się one, nie pozostawiając śladu w ich mózgu; idą natychmiast w zapomnienie; po jednej chwili oświetlenia pogrążają się one znowu w noc wieczną. Kiedy posuną się oni dalej w matematyce, nie będą widzieli nawet i tego przemijającego światła, bo twierdzenia opierają się jedne na drugich, a te, któreby im były potrzebne, będą zapomniane; w ten sposób staną się oni niezdolni do rozumienia matematyki.
Nie zawsze jestto wina profesora; często umysł ich, który musi postrzegać nić przewodnią, jest zbyt leniwy, by szukać jej i by ją znaleźć. Ale żeby im przyjść z pomocą, musimy przedewszystkim dobrze zrozumieć, o co się oni potykają.
Inni będą sobie ustawicznie zadawali pytanie: do czego to służy? nie będą rozumieli, dopóki nie znajdą dokoła siebie, w praktyce czy w przyrodzie, racji bytu tego lub innego pojęcia matematycznego. Pod każdy wyraz chcieliby podłożyć obraz zmysłowy; definicja musi wywoływać w ich umyśle ten obraz, w każdym stadjum dowodzenia muszą widzieć, jak się obraz ten przekształca i rozwija. Pod tym jedynie warunkiem zrozumieją i zapamiętają. Ci ulegają często własnemu złudzeniu; nie słuchają oni rozumowań, patrzą na figury; zdaje im się, że zrozumieli, a oni tylko widzieli.
2. Ileż rozmaitych skłonności! Czy należy je zwalczać? Czy trzeba z nich korzystać? I gdybyśmy chcieli je zwalczać, to którą wypadałoby popierać? Czy trzeba wykazać tym, co zadawalają się czystą logiką, że widzą tylko jedną stronę rzeczy? Czy może należy mówić tym, co się nie zaspokajają tak tanim kosztem, że to, czego się domagają, nie jest potrzebne?
Innemi słowy, czy powinniśmy zmuszać młodzież do zmienienia natury jej umysłu? Wysiłki takie byłyby próżne; nie posiadamy kamienia filozoficznego dla transmutacji metali, nad któremi pracujemy; możemy co najwyżej obrabiać je, przystosowując się do ich własności.
Wiele dzieci jest niezdolnych do zostania matematykami, a przecież trzeba je nauczyć matematyki; a i sami matematycy nie zostali wszyscy odlani w jednej formie. Wystarczy czytać ich dzieła, by rozróżnić wśród nich dwa typy umysłów, logików jak n. p. Weierstrass, i intuityków, jak Riemann. Tę samą różnicę stwierdzić można wśród naszych studentów. Jedni wolą rozwiązywać zadania »zapomocą analizy«, jak się wyrażają, inni »zapomocą gieometrji«.
Bezcelowym byłoby chcieć coś w tym zmienić, a zresztą czyby to było pożądanym? Dobrze jest, by istnieli logicy i intuitycy; któż odważyłby się orzec, że wolałby, żeby Weierstrass nie był nigdy pisał, albo żeby nie było Riemanna. Musimy się tedy pogodzić z rozmaitością umysłów albo raczej powinniśmy się nią cieszyć.
3. Skoro wyraz rozumieć ma kilka znaczeń, definicje, które będą najbardziej zrozumiałe dla jednych, nie będą najlepiej odpowiadały innym. Mamy definicje, które starają się wywołać obraz, oraz definicje, które ograniczają się kombinowaniem form pustych, doskonale logicznych, ale tylko logicznych, wypatroszonych przez abstrakcję z wszelkiej zawartości.
Nie wiem, czyli jest bardzo potrzebne przytaczanie przykładów? Przytoczmy ich przecież kilka, i weźmy nasamprzód, jako przykład krańcowy, definicję ułamków. W szkołach początkowych, aby określić ułamek, kraje się na części jabłko lub ciasto; kraje się je oczywiście w myśli, nie w rzeczywistości, nie przypuszczam bowiem, by budżet nauczania początkowego pozwalał na taką rozrzutność. W wyższej szkole normalnej natomiast i na uniwersytetach mówi się: ułamek jestto zespół dwu liczb całkowitych, oddzielonych od siebie poziomą kreską; określa się, drogą umów, działania, jakim się poddaje te symbole; dowodzi się, ze prawidła tych działań są te same, co w rachunku z liczbami całkowitemi, i stwierdza się w końcu, że pomnożenie według tych prawideł ułamka przez jego mianownik daje w rezultacie licznik. Wszystko to jest bardzo dobre, bo wykład ten przeznaczony jest dla młodzieży, oddawna już spoufalonej z pojęciem ułamków przez dzielenie jabłek i innych przedmiotów, i której umysł wysubtelniony przez tęgie wykształcenie matematyczne dojrzał stopniowo do pożądania definicji czysto logicznej. Ale jakież byłoby oszołomienie początkującego, któremuby chciano je zaprezentować?
Takie również definicje znajdziecie w słusznie podziwianej i wielokrotnie nagradzanej książce Hilberta »Grundlagen der Geometrie«. Jakoż, rozpoczyna się ona od słów: »Pomyślmy trzy układy rzeczy, które nazwiemy punktami, prostemi, płaszczyznami«. Cóż to są te »rzeczy«? nie wiemy i nie potrzebujemy wiedzieć; szkodliwym byłoby nawet, gdybyśmy starali się o tym dowiedzieć; mamy prawo wiedzieć o nich to jedynie, co nam o nich mówią pewniki, jak ten n. p.: Dwa różne punkty oznaczają zawsze prostą, opatrzony takim komentarzem: zamiast oznaczają, możemy powiedzieć, że prosta przechodzi przez te dwa punkty, albo, że łączy te dwa punkty, albo, że te dwa punkty leżą na prostej. Tak więc »leżeć na prostej« jest poprostu zdefinjowane jako synonim »oznaczać prostą«. Książkę Hilberta cenię wysoko, ale nie poleciłbym jej liceiście. Mógłbym zresztą zrobić to bez obawy, nie dobrnąłby on w niej zbyt daleko.
Wziąłem przykłady krańcowe — żadnemu nauczycielowi nie przyszłoby na myśl posunąć się aż tak daleko. Ale nawet na znacznej jeszcze odległości od takich wzorów czyż nie naraża się on na podobne niebezpieczeństwo?
Jesteśmy w klasie 4-ej; profesor dyktuje: okręg jest miejscem punktów płaszczyzny jednakowo odległych od punktu wewnętrznego, nazwanego środkiem. Dobry uczeń wypisuje to zdanie w swoim kajecie; zły uczeń rysuje w nim rozmaite figielki; lecz żaden z nich nie zrozumiał; wówczas profesor bierze kredę i kreśli na tablicy koło. »Aha! — myślą uczniowie, czemuż to nie powiedział odrazu; okrąg to jest krążek, bylibyśmy zrozumieli«. Bezwątpienia rację ma profesor. Definicja uczniów nic nie byłaby warta, gdyż nie mogłaby służyć do żadnego dowodzenia, a zwłaszcza dlatego, że nie mogłaby ich wdrożyć do zbawiennego przyzwyczajenia analizowania swych pojęć. Ale trzebaby im wykazać, że nie rozumieją tego, co im się zdaje, że rozumieją, naprowadzić ich na to, by zdali sobie sprawę z nieociosania ich pierwotnego pojęcia, by sami odczuli potrzebę odczyszczenia go i okrzesania.
4. Powrócę jeszcze do wszystkich tych przykładów; chciałem tylko pokazać wam owe dwie przeciwne koncepcje; stanowią one w stosunku do siebie jaskrawy kontrast. Kontrast ten tłumaczy nam historja nauki. Kiedy czytamy książkę, napisaną przed pięćdziesięciu laty, większa część znajdujących się w niej rozumowań wyda się nam nieścisłą.
Przyjmowano w owych czasach, że funkcja ciągła nie może zmienić znaku, nie przybierając wartości zero; dzisiaj dowodzi się tego. Przyjmowano, że zwykłe reguły rachunku są stosowalne do liczb niewspółmiernych, dzisiaj dowodzi się tego. Przyjmowano wiele innych rzeczy, które niekiedy były błędne.
Ufano intuicji; lecz intuicja nie może nam dać ścisłości ani nawet pewności, jak się o tym coraz bardziej przekonywano. Mówi ona n. p., że każda krzywa posiada styczną, to znaczy, że każda funkcja ciągła posiada pochodną, co jest błędne. A ponieważ zależało ludziom na pewności, trzeba było coraz bardziej kurczyć dział intuicji.
Jak odbyła się ta nieunikniona ewolucja? Dostrzeżono rychło, że ścisłość nie może zamieszkać w rozumowaniach, jeśli się jej uprzednio nie wprowadzi do definicji.
Przedmioty, któremi zajmuje się matematyka, były przez długi czas źle zdefinjowane; zdawało się, że się je zna, bo przedstawiano je sobie przy pomocy zmysłów, czy wyobraźni, ale były to jedynie grube obrazy nie zaś ścisłe pojęcia, których mogłoby się imać rozumowanie.
Tutaj więc musiały się zwrócić wysiłki logików. Tak np. dla liczby niewspółmiernej.
Niejasna idea ciągłości, którąśmy poczerpnęli z intuicji, rozłożyła się na skomplikowany układ nierówności, do których wchodzą jedynie liczby całkowite. W ten sposób rozproszyły się ostatecznie wszystkie trudności, które przestrach siały w naszych ojcach, gdy ci rozmyślali nad podstawami rachunku nieskończonostkowego.
Dzisiaj w analizie pozostają jedynie liczby całkowite lub układy skończone albo nieskończone liczb całkowitych, połączone siecią równości i nierówności.
Matematyka, jak się mówi, zarytmetyzowała się.
5. Czy jednak to zdobycie przez matematykę absolutnej ścisłości odbyło się bez ofiary? Bynajmniej, co wygrała ona na ścisłości, to straciła na objektywności. Właśnie przez oddalanie się od rzeczywistości zdobyła ona ową doskonałą czystość. Można dziś swobodnie przebiec cały jej obszar, niegdyś najeżony przeszkodami, lecz przeszkody te nie znikły. Przeniesiono je tylko na granicę, i trzeba je znowu przezwyciężyć, jeśli się chce przekroczyć tę granicę i przeniknąć do królestwa praktyki.
Dawniej posiadaliśmy niewyraźne pojęcie, utworzone z różnorodnych elementów, z których jedne były a priori, inne pochodziły z mniej lub bardziej przetrawionych doświadczeń; zdawało nam się, że znamy intuicyjnie główne ich własności. Dzisiaj odrzuca się elementy empiryczne, zachowując jedynie elementy a priori; jedna z własności służy za definicję, a wszystkie inne wyprowadza się z niej drogą ścisłego rozumowania. Wszystko to jest zupełnie w porządku, ale pozostaje dowieść, że własność tę, która stała się definicją, posiadają istotnie przedmioty rzeczywiste, które poznaliśmy z doświadczenia, i które nasunęły nam owo niewyraźne intuicyjne pojęcie. Aby tego dowieść, trzeba będzie odwołać się do doświadczenia lub wysilić intuicję — a gdybyśmy nie byli w stanie tego dowieść, twierdzenia nasze byłyby doskonale ścisłe, ale też doskonale bezużyteczne.
Logika płodzi niekiedy potwory. W ciągu ostatniego półstulecia zjawiło się mnóstwo dziwacznych funkcji, które jakgdyby starają się usilnie o to, by możliwie najmniej mieć podobieństwa z uczciwemi funkcjami, które służą do czegoś. Nie są ciągłe, albo też są ciągłe ale nie mają pochodnych itd. Cowięcej, z punktu widzenia logicznego te osobliwe funkcje są najogólniejszemi, te zaś, które napotykamy bez szukania, okazują się wypadkami szczególnemi. Zajmują one mały tylko kącik.
Niegdyś, kiedy wynajdywano jaką nową funkcję, robiono to ze względu na jakiś praktyczny cel; dziś wynajduje się je umyślnie po to, by wystawić na szwank rozumowania naszych ojców, i nie wydobędzie się z nich nigdy nic ponadto.
Gdyby logika była jedynym przewodnikiem pedagoga, powinienby on zaczynać naukę od funkcji najogólniejszych, to jest najdziwaczniejszych. Powinienby kazać początkującemu borykać się z całym tym muzeum teratologicznym. Jeśli tego nie robicie, mogliby powiedzieć logicy, dojdziecie do ścisłości jedynie etapami.
6. Zapewne, ale nie możemy tak lekceważyć sobie rzeczywistości, a nie mam na myśli jedynie rzeczywistości świata zmysłowego, choć i ta również ma swoją cenę, skoro właśnie dla walki z nią żąda od was uzbrojenia dziewięć dziesiątych waszych uczniów. Istnieje rzeczywistość subtelniejsza, nadająca życie matematyce, a przecież całkiem odmienna od logiki.
Ciało nasze składa się z komórek, a komórki z atomów; czyż komórki te i te atomy stanowią całą rzeczywistość ciała ludzkiego? Czyż sposób, w jaki komórki te są uszykowane, nadający jedność osobnikowi, nie jest również rzeczywistością i to rzeczywistością o wiele bardziej interesującą?
Czy przyrodnik, który słonia nie badał nigdy inaczej jak przez mikroskop, zna to zwierzę w zupełności?
Tak samo jest w matematyce. Kiedy logik rozłoży każdy dowód na mnóstwo działań elementarnych, z których każde będzie poprawne, nie będzie on jeszcze w posiadaniu całej rzeczywistości; owo nieuchwytne coś, które nadaje jedność dowodowi, wymknie się z jego sieci.
Pocóż będziemy w gmachach, dźwigniętych przez naszych mistrzów, podziwiali dzieło murarza, jeśli nie potrafimy zrozumieć planu architekta? A tego widoku ogólnego nie jest w stanie dać nam czysta logika, żądać go musimy od intuicji.
Weźmy dla przykładu pojęcie funkcji ciągłej. Jestto zrazu tylko obraz zmysłowy, kreska nakreślona kredą na czarnej tablicy. Stopniowo oczyszcza się ono; służy nam do zbudowania złożonego układu nierówności, odtwarzającego wszystkie linje obrazu pierwotnego; kiedy wszystko jest skończone, kabłąki się zdejmuje, jak po zbudowaniu sklepienia; owo nieociosane wyobrażenie, jako niepotrzebna już teraz podpora, znika, i pozostaje jedynie sam gmach, niepokalany dla logika. A przecież gdyby profesor nie był przypomniał pierwotnego obrazu, gdyby nie posiłkował się chwilowo kabłąkiem, jakżeby miał uczeń zrozumieć, jaki to kaprys kazał owym nierównościom piętrzyć się w określony sposób jedne na drugich? Definicja byłaby logicznie poprawna, lecz nie wskazywałaby mu prawdziwej rzeczywistości.
7. Oto tedy zmuszeni jesteśmy cofnąć się wstecz; przykro jest niewątpliwie nauczycielowi wykładać to, co go nie zadawala w zupełności; lecz zadowolenie nauczyciela nie jest jedynym celem nauczania; trzeba przedewszystkim dbać o to, czym jest umysł ucznia, i czym go chcemy zrobić.
Zoologowie twierdzą, że rozwój embrjonalny zwierzęcia streszcza w krótkim bardzo okresie czasu całe dzieje jego przodków z czasów gieologicznych. Rozwój umysłowy zdaje się podlegać podobnemu prawu. Wychowawca musi przeprowadzić dziecko przez tę samą drogę, przez którą przeszli jego ojcowie; szybciej, ale nie przeskakując etapów. W tym też sensie historja nauki winna być pierwszym naszym przewodnikiem.
Ojcowie nasi sądzili, że wiedzą, co to jest ułamek, lub ciągłość, lub pole powierzchni krzywej; dopiero my zauważyliśmy, że oni tego nie wiedzieli. Podobnie uczniom naszym zdaje się, że wiedzą to, gdy zaczynają poważnie uczyć się matematyki. Jeśli bez należytego przygotowania przyjdę i powiem im: »Nie, nie wiecie tego; nie rozumiecie tego, co według waszego mniemania rozumiecie; trzeba, żebym wam dowiódł tego, co się wam wydaje oczywistym«, i jeśli w dowodzeniu oprę się na przesłankach, które wydadzą im się mniej oczywistemi niż wnioski, tedy cóż pomyślą ci nieszczęśliwi? Pomyślą, że nauka matematyczna jest poprostu dowolnym nagromadzeniem bezużytecznych subtelności; i albo nabiorą do niej odrazy; albo będą się nią bawili jak grą, i dojdą do podobnego stanu umysłów, jak sofiści greccy.
Natomiast później, kiedy umysł ucznia, obyty z rozumowaniem matematycznym, dojrzeje przez długie z nim obcowanie, wątpliwości zrodzą się same przez się, i wówczas dowodowi waszemu będą radzi. Wywoła on później nowe wątpliwości, i dziecku nasuwać się będą kolejno kwestje, jak nasuwały się one kolejno naszym ojcom, aż umysł jego, aby mieć uczucie zadowolenia, będzie wymagał doskonałej ścisłości. Nie wystarcza wątpić o wszystkim, trzeba wiedzieć, dlaczego się wątpi.
8. Głównym celem nauczania matematyki jest rozwijanie pewnych zdolności umysłu, a wśród tych zdolności intuicja nie jest najmniej cenną. Przez nią to świat matematyczny pozostaje w zetknięciu ze światem rzeczywistym, i gdyby matematyka czysta mogła się bez niej obejść, trzebaby było zawsze do niej się uciekać, by zapełnić przepaść, oddzielającą symbol od rzeczywistości. Praktyk będzie jej zawsze potrzebował, a na jednego czystego matematyka musi przypadać stu praktyków.
Inżynier winien otrzymać zupełne wykształcenie matematyczne — lecz na co mu ono ma służyć? na to, by widział rozmaite postaci rzeczy, i by widział je szybko; nie ma on czasu wdawać się w subtelne szczególiki. Musi on w przedmiotach fizycznych, z jakiemi ma do czynienia, rozpoznawać rychło punkty, których mogą się imać narzędzia matematyczne, któreśmy mu dali w rękę. Jakeżby to zrobił, gdybyśmy pozostawili między jednemi a drugiemi ową głęboką przepaść, wykopaną przez logików?
9. Obok przyszłych inżynierów siedzą inni mniej liczni uczniowie, którzy z czasem mają zostać nauczycielami; ci przeto muszą poznać całą głębię nauki; im przedewszystkim jest niezbędna pogłębiona i ścisła znajomość pierwszych zasad. Lecz nie jestto racja, by nie kultywować u nich intuicji; albowiem nabyliby fałszywego pojęcia o nauce, gdyby patrzyli na nią zawsze z jednej tylko strony, a i u swoich przyszłych uczniów nie potrafiliby rozwijać zdolności, którejby nie posiadali sami.
Nawet czystemu matematykowi zdolność ta jest potrzebna, gdyż zapomocą logiki dowodzi się, zapomocą intuicji — tworzy. Umieć krytykować jest dobrze, umieć tworzyć lepiej. Potraficie rozpoznać, czy dana kombinacja jest poprawna; ale pięknie będziecie wyglądali, jeżeli nie posiądziecie sztuki wybierania zpośród wszystkich możliwych kombinacji. Logika nas poucza, że na pewnej drodze nie napotkamy z pewnością przeszkód; nie mówi nam, jaka droga wiedzie do celu. Trzeba bo umieć widzieć cel zdaleka, a zdolnością która nas uczy widzieć, jest intuicja. Bez niej matematyk byłby tym czym pisarz biegły w gramatyce, lecz pozbawiony myśli. A jakżeby zdolność ta miała się rozwijać, jeśli się ją goni i prześladuje, skoro się tylko objawi, jeśli się uczy nieufać jej, zanim się jeszcze dowie, co dobrego można z niej przeczerpnąć.
I tutaj muszę otworzyć nawias, by podnieść wielką wagę ćwiczeń pisemnych. Zadaniom pisemnym nie wyznaczono, być może, dostatecznego miejsca przy niektórych egzaminach, np. w Szkole politechnicznej. Powiadają mi, że zamknęłyby one drzwi przed wielu bardzo dobremi uczniami, którzy umieją bardzo dobrze swoje kursa, bardzo dobrze je rozumieją, a którzy przecie są niezdolni zastosować je w najprostszym nawet wypadku. Powiedziałem powyżej, że wyraz rozumieć ma kilka znaczeń: ci rozumieją jedynie w pierwszy sposób, a widzieliśmy przed chwilą, że takie rozumienie nie wystarcza, aby zrobić z ucznia ani inżyniera ani matematyka. A ponieważ zmuszeni jesteśmy dokonać wyboru, wolę wybrać tych, co rozumieją całkowicie.
10. Czy jednak sztuka trafnego rozumowania nie jest również cenną zaletą, którą profesor matematyki powinien przedewszystkim kultywować? Bynajmniej o tym nie zapominam; troska o nią musi być żywa i to od samego początku. Byłbym głęboko zmartwiony, gdyby się gieometrja w moich oczach miała wyrodzić w jakąś nędzną tachymetrję, i nie piszę się wcale na krańcowe poglądy niektórych niemieckich Oberlehrer’ów. Ale dosyć jest sposobności ćwiczenia uczniów w poprawnym rozumowaniu w częściach matematyki, w których się nie spotyka wskazanych przezemnie niedogodności. Istnieją długie łańcuchy twierdzeń, w których absolutna logika panowała od pierwszej chwili i, że tak powiemy, w sposób naturalny, w których pierwsi matematycy dali nam modele, godne ustawicznego naśladowania i podziwu.
Nadmiernej subtelności należy unikać przy wykładzie pierwszych zasad: tutaj działałaby ona raczej odpychająco i zresztą byłaby bez pożytku. Niepodobna wszystkiego dowieść ani wszystkiego zdefinjować; trzeba będzie zawsze kiedyś poczerpnąć z intuicji; cóż to waży, czy się to zrobi trochę wcześniej lub trochę później, albo nawet czy się od niej weźmie trochę więcej lub trochę mniej, byleśmy przez poprawne posługiwanie się przesłankami, których nam ona dostarczyła, nauczyli się trafnie rozumować.
11. Czy możliwe jest uczynić zadość tylu sprzecznym warunkom? Czy jest to zwłaszcza możliwe, kiedy idzie o danie definicji? Jak znaleźć zwięzłe sformułowanie, odpowiadające równocześnie nieprzejednanym prawom logiki, naszej potrzebie zrozumienia miejsca, jakie nowe pojęcie zajmuje w całokształcie nauki, naszej potrzebie myślenia obrazami? Najczęściej sformułowania takiego się nie znajdzie, i dlatego też nie wystarcza wypowiedzieć definicję; trzeba ją przygotować i trzeba ją usprawiedliwić.
Co chcę przez to powiedzieć? Wiecie, że mówi się często: wszelka definicja zawiera w sobie domyślnie pewnik, albowiem zakłada ono istnienie definjowanego przedmiotu. Definicja będzie tedy usprawiedliwiona z punktu widzenia logicznego dopiero wówczas, gdy się dowiedzie, że nie pociąga ona za sobą żadnej sprzeczności, ani wewnętrznej ani w stosunku do dawniej przyjętych prawd.
Ale tego nie dosyć; definicja jest sformułowana jako umowa; lecz większość umysłów zaprotestowałaby, gdybyście chcieli ją im narzucić, jako umowę dowolną. Nie zaznają spokoju, dopóki nie odpowiecie im na mnóstwo zapytań.
Definicje matematyczne są najczęściej, jak to okazał Liard, prawdziwemi konstrukcjami, zbudowanemi w całości z pojęć prostych. Ale dlaczego ułożyć te elementy w taki właśnie sposób, kiedy istnieje tysiąc innych układów możliwych? Czy dla kaprysu? Jeśli nie, to dlaczego ta oto kombinacja ma mieć większe prawo bytu niż każda inna? Jakiej potrzebie czyni zadość? Jakim sposobem przewidziano, że odegra ona w rozwoju nauki wybitną rolę, że skróci nasze rozumowania i nasze rachunki? Czy istnieje w przyrodzie jakiś zwykły przedmiot, któryby był jej, że tak powiem, grubym i nieociosanym obrazem?
To nie wszystko jeszcze; skoro odpowiecie na wszystkie te pytania w sposób zadawalający, będziemy już wiedzieli, że noworodek ma prawo być ochrzczonym; lecz i wybór imienia nie jest dowolny; trzeba wytłumaczyć jakiemi kierowaliśmy się analogjami, i że jeśli daliśmy analogiczne nazwy rzeczom różnym, to rzeczy te różnią się tylko co do zawartości a podobne są do siebie co do formy; że własności ich są analogiczne i, że tak powiem, równoległe.
Za tę to cenę będzie można uczynić zadość wszelkim skłonnościom i wszelkim wymaganiom. Jeśli sformułowanie jest dość poprawne, by podobać się logikowi, usprawiedliwienie zadowoli intuityka. Ale można zrobić jeszcze lepiej; ilekroć będzie to możliwe, usprawiedliwienie poprzedzi sformułowanie i przygotuje je; do sformułowania ogólnego poprowadzi zbadanie kilku wypadków szczególnych.
Inna jeszcze okoliczność: każda z części sformułowania pewnej definicji ma na celu odróżnienie przedmiotu definjowanego od klasy innych pobliskich przedmiotów. Definicja będzie zrozumiana dopiero wówczas, gdy wskażecie nietylko przedmiot zdefinjowany lecz i przedmioty sąsiednie, od których należy go odróżnić, gdy jasną się stanie ta różnica, i gdy dodacie wyraźnie: dlatego to, formułując definicję, powiedziałem to i to.
Ale czas już wyjść poza okólniki i rozważyć, jak wyłożone powyżej nieco abstrakcyjne zasady mogą być zastosowane do arytmetyki, gieometrji, analizy i mechaniki.

Arytmetyka.

Nie potrzeba definjować liczby całkowitej; natomiast zazwyczaj definjuje się działania nad liczbami całkowitemi; myślę, że uczniowie uczą się tych definicji na pamięć i niewkładają w nie żadnej treści. Dwie są po temu racje: naprzód każe się im ich uczyć zbyt wcześnie, gdy ich umysł nie odczuwa jeszcze żadnej tego potrzeby; następnie definicje te nie są zadawalające ze stanowiska logiki. Dla dodawania nie podobna znaleźć dobrej definicji poprostu dlatego, że trzeba się gdzieś zatrzymać, i że nie można wszystkiego definjować. Nie jestto definicją dodawania, gdy się mówi, że polega ono na »dokładaniu«. Jedyne, co można zrobić, to zacząć od pewnej ilości przykładów konkretnych i powiedzieć: działanie, któreśmy oto wykonali, nazywa się dodawaniem.
Inaczej z odejmowaniem; można określić je logicznie jako działanie odwrotne do dodawania; czy od tego jednak trzeba zacząć? I tutaj należy również rozpocząć od przykładów, wykazać na tych przykładach odwrotność obu działań; przygotuje to i usprawiedliwi definicję.
Podobnie i dla mnożenia; weźmie się jakieś zadanie szczególne; wykaże, iż można je rozwiązać przez dodanie kilku równych sobie liczb; wskaże się następnie, że dochodzi się prędzej do rezultatu przez mnożenie, działanie, które uczniowie umieją już wykonywać przez rutynę, a definicja logiczna wyłoni się już stąd całkiem naturalnie.
Dzielenie określi się jako działanie odwrotne w stosunku do mnożenia; ale rozpocznie się od przykładu, wziętego z pospolitego pojęcia podziału, i wskaże się na tym przykładzie że przez mnożenie otrzymujemy z powrotem dzielną.
Pozostają działania nad ułamkami. Trudności nastręcza jedynie mnożenie. Najlepiej będzie wyłożyć naprzód teorję proporcji, z niej dopiero będzie można wyprowadzić definicję logiczną; ale żeby pobudzić do przyjęcia definicji, które napotyka się na początku tej teorji, trzeba definicje te przygotować na wielu przykładach, wziętych zpośród zagadnień klasycznych na regułę trzech, przyczym dane w tych zagadnieniach będą musiały być ułamkami. Nie trzeba się też obawiać spoufalenia uczniów z pojęciem proporcji za pomocą obrazów gieometrycznych, czy to odwołując się do ich wspomnień, jeśli uczyli się już gieometrji, czy uciekając się do intuicji bezpośredniej, jeśli się jej nie uczyli, co przygotuje ich zresztą do nauki gieometrji. Dodam wreszcie, że określiwszy mnożenie ułamków, należy usprawiedliwić tę definicję przez dowód, że posiada ono cechy przemienności, łączności i rozdzielności; i zwrócić wyraźnie uwagę słuchaczy na to, że stwierdzenie tych cech ma na celu usprawiedliwienie definicji.
Obrazy gieometryczne, jak widzimy, odgrywają w tym wszystkim dużą rolę; i rolę tę usprawiedliwia filozofja oraz historja nauki. Gdyby arytmetyka pozostała wolna od jakiejkolwiek mieszaniny z gieometrją, znałaby ona jedynie liczbę całkowitą; jeżeli zaś stworzyła coś jeszcze, to po to, aby przystosować się do potrzeb gieometrji.

Gieometrja.

W gieometrji napotykamy przedewszystkim pojęcie linji prostej. Czy można określić linję prostą? Definicja zwykła, najkrótsza droga pomiędzy dwoma punktami, wcale mnie nie zadawala. Zacząłbym poprostu od linjału i pokazałbym nasamprzód uczniowi, jak można sprawdzić linjał przez odwrócenie; to sprawdzenie jest prawdziwą definicją linji prostej; linja prosta jest osią obrotu. Pokazalibyśmy mu później, jak sprawdza się linjał przez ślizganie, co dałoby nam jedną z najważniejszych własności linji prostej. Co zaś do owej innej własności linji prostej, że jest ona najkrótszą drogą od jednego punktu do drugiego, to jestto twierdzenie, którego można dowieść apodyktycznie, lecz dowód jest zbyt subtelny, by można go było wkluczyć w kurs szkoły średniej. Lepiej będzie pokazać, że sprawdzony uprzednio linjał przylega do napiętej nici. Wobec innych analogicznych trudności nie trzeba się obawiać wprowadzania nowych pewników, które należy poprzeć pospolitemi doświadczeniami.
Toż i tak trzeba przyjąć pewną ilość pewników, a jeśli przyjmiemy ich trochę więcej niż jest ściśle niezbędnym, nie będzie stąd wielkiego nieszczęścia; istotnym jest, nauczyć się trafnie rozumować na przyjętych już pewnikach. Wujaszek Sarcey, który lubił się powtarzać, mawiał często, że w teatrze widz przyjmuje chętnie wszelkie postulaty, które mu się narzuca na początku, ale skoro kurtyna się podniesie, staje się on nieprzejednanym co do logiki. Otóż w matematyce jest tak samo.
Przy kole można zacząć od cyrkla; uczniowie rozpoznają od pierwszego rzutu oka nakreśloną krzywą; zwróci się im później uwagę na to, że odległość obu ostrzy przyrządu pozostaje stała, że jedno z tych ostrzy jest nieruchome, drugie ruchome, i w ten sposób dojdzie się naturalnie do definicji logicznej.
Definicja płaszczyzny wymaga domyślnego pewnika, i nie należy tego taić. Weźcie rajzbret i zwróćcie uwagę na to, że ruchomy linjał ciągle przystaje do tego rajzbretu, zachowując przy tym trzy stopnie swobody ruchów. Porównajcie z walcem i stożkiem, do których to powierzchni prosta przystaje tylko o tyle, o ile pozostawimy jej dwa jedynie stopnie swobody; następnie weźmie się trzy rajzbrety; pokaże się naprzód, że mogą one ślizgać się, przylegając do siebie, i to przy trzech stopniach swobody; i wreszcie, żeby wyróżnić płaszczyznę od kuli, że dwa z tych rajzbretów, z których każdy przylega do trzeciego, przylegają i do siebie.
Zdziwi was może to ustawiczne posługiwanie się ruchomemi narzędziami; nie jestto bynajmniej jakieś radzenie sobie nieokrzesanemi domowemi środkami, jest w tym więcej filozofji, niżby się zrazu mogło wydawać. Czym bo jest gieometrja dla filozofa? Jestto badanie pewnej grupy, — i jakiej grupy? — grupy ruchów ciał stałych. Jakże tedy określić tę grupę, nie wprawiając w ruch pewnej ilości ciał stałych?
Czy mamy zachować klasyczną definicję równoległych i rzec, że nazywa się tak dwie proste, które, leżąc w jednej płaszczyźnie, nie spotkają się, jakkolwiek dalekobyśmy je przedłużyli? Nie — bo definicja ta jest negatywna, bo jest niesprawdzalna w doświadczeniu, i przeto nie może być uważana za bezpośrednią daną intuicji. Nie — dlatego zwłaszcza, że jest ona całkiem obca pojęciu grupy, rozważaniu ruchu ciał stałych, który, jakem powiedział, jest istotnym źródłem gieometrji. Czy nie byłoby lepiej określić naprzód prostolinijne przesunięcie figury niezmiennej, jako ruch, w którym wszystkie punkty tej figury posiadają drogi prostolinijne; okazać, że przesunięcie takie jest możliwe, ślizgając ekierkę po linjale? Z tego twierdzenia doświadczalnego, podniesionego do godności pewnika, łatwoby już było wyprowadzić pojęcie równoległej i sam postulat Euklidesa.

Mechanika.

Nie będę się tu zaprzątał definicją prędkości, przyspieszenia i innych pojęć kinematycznych; korzystnie będzie je związać z pojęciem pochodnej.
Zatrzymam się natomiast dłużej na definicji pojęć dynamicznych siły i masy.
Jedno mnie uderza: w jakim stopniu młodzieńcy, którzy otrzymali wykształcenie średnie, dalecy są od stosowania do świata realnego praw mechanicznych, których ich nauczono. Nietylko są niezdolni to robić; ale nawet nie przychodzi im to na myśl. W ich pojęciu świat nauki odgrodzony jest od świata rzeczywistości nieprzebytą tamą. Nierzadko zdarza się widzieć dobrze ubranego pana, prawdopodobnie bakałarza (czyli, według naszej terminologii, posiadacza patentu dojrzałości, abiturjenta, przyp. tłum.) który, siedząc w powozie, wyobraża sobie, że pomaga mu się toczyć, opierając się nogami o przód, i to wbrew zasadzie akcji i reakcji (działania i oddziaływania).
Jeśli spróbujemy zanalizować stan dusz naszych uczniów, mniej nas to będzie dziwiło; jaka jest dla nich prawdziwa definicja siły? nie ta, którą recytują, lecz inna, przyczajona w kąciku ich umysłu i stamtąd całkowicie nim kierująca. Oto ta definicja: siły są to strzałki, z których buduje się równoległoboki. Strzałki te są urojonemi istotami, nie mającemi nic wspólnego z niczym istniejącym w przyrodzie. Oczywiście można byłoby temu zapobiec, gdyby się było pokazało im siły, działające w rzeczywistości, zanim się je zaczęło przedstawiać zapomocą strzałek.
Jak określić siłę? Niema dobrej definicji logicznej, wykazałem to, jak sądzę, dostatecznie gdzieindziej.[1] Istnieje definicja antropomorficzna, czucie mięśniowego wysiłku; ta jest doprawdy zbyt gruba, i niepodobna z niej wyprowadzić nic użytecznego.
Oto jaką trzeba będzie iść drogą: trzeba przedewszystkim, aby poznać rodzaj »siła«, zaznajomić się kolejno z wszystkiemi gatunkami tego rodzaju, są one bardzo liczne i bardzo rozmaite; mamy ciśnienie cieczy na ścianki naczyń, w których są one zawarte; napięcie nici; sprężystość sprężyny; ciężkość, działającą na wszystkie molekuły ciała; tarcia; wspólną normalną akcję i reakcję dwu stykających się ciał stałych.
Jestto tylko definicja jakościowa; trzeba się nauczyć mierzyć siłę. W tym celu okażemy naprzód, że można zastąpić jedną siłę przez inną, nie nadwerężając równowagi; pierwszy przykład takiego zastąpienia znajdujemy w wadze i podwójnym ważeniu Bordy. Pokażemy następnie, że można zastąpić ciężar nietylko przez inny ciężar, lecz przez siły innego typu: n. p. hamulec Prony’ego pozwala nam zastąpić ciężar przez tarcie.
Z wszystkiego tego wynika pojęcie równoważności dwu sił.
Trzeba określić kierunek siły. Jeżeli siła F jest równoważna do innej siły F′, przyłożonej do rozważanego ciała za pośrednictwem napiętej nici, tak, iż F może być zastąpione przez F′ bez zakłócenia równowagi, natenczas punkt zaczepienia nici będzie, mocą definicji, punktem przyłożenia siły F′ oraz równoważnej siły F; kierunek nici będzie kierunkiem siły F′ oraz równoważnej siły F.
Następnie przejdzie się do porównywania wielkości sił. Jeżeli pewna siła może zastąpić dwie inne o tym samym kierunku, tedy równa się ona ich sumie, pokaże się n. p., że ciężar 20 gramów może zastąpić dwa ciężary 10-cio gramowe.
Czy to wystarcza? Nie jeszcze. Umiemy już porównywać napięcie dwu sił, które posiadają ten sam kierunek i ten sam punkt przyłożenia; trzeba nauczyć się to robić w wypadku kierunków różnych. Wyobraźmy sobie w tym celu nić, napiętą przez ciężar, i przechodzącą przez blok; powiemy, że napięcie obu kawałków nici jest jednakowe i równe ciężarowi napinającemu.
Oto nasza definicja — pozwala nam ona porównywać napięcia naszych dwu kawałków nici, a przy pomocy poprzedzających definicji porównywać dwie jakiekolwiek siły, równoległe do tych dwu kawałków. Trzeba ją usprawiedliwić przez wykazanie, że napięcie ostatniego kawałka pozostaje to samo dla tego samego napinającego ciężaru niezależnie od ilości i rozkładu bloków transmisyjnych. Trzeba ją potym uzupełnić przez wykazanie, że jestto prawdziwe jedynie dla bloków bez tarcia.
Skoro tylko opanujemy te definicje, trzeba okazać, że punkt przyłożenia, kierunek i natężenie wystarczają do oznaczenia siły; że dwie siły, dla których elementy te są te same, są zawsze równoważne i mogą być zawsze wzajemnie przez siebie zastąpione, czy to w równowadze czy w ruchu i to niezależnie od tego, jakie inne siły wchodzą ponadto w grę.
Trzeba okazać, że dwie siły zbieżne mogą być zawsze zastąpione przez jedną wypadkową, i że wypadkowa ta pozostaje ta sama, czy ciało jest w spoczynku, czy w ruchu, i niezależnie od tego, jakie inne siły są doń przyłożone.
Trzeba wreszcie okazać, że siły określone, tak, jakeśmy to powyżej zrobili, czynią zadość zasadzie równości akcji i reakcji.
Wszystkiego tego nauczyć nas może doświadczenie, i tylko doświadczenie.
Wystarczy przytoczyć kilka pospolitych doświadczeń, które uczniowie robią codzień, nie zdając sobie z tego sprawy, oraz wykonać wobec nich niewielką ilość eksperymentów prostych i dobrze dobranych.
Dopiero po przejściu przez te wszystkie zakręty wolno będzie przedstawiać siły zapomocą strzałek, a chciałbym nawet, by się w dalszym ciągu rozumowań powracało od czasu do czasu od symbolu do rzeczywistości. Nie trudno byłoby n. p. zilustrować równoległobok sił zapomocą przyrządu, utworzonego z trzech nici, przechodzących przez bloki, napiętych przez ciężary, i wzajemnie się równoważących przy ciągnieniu jednego i tego samego punktu.
Znając siłę, łatwo jest określić masę; tym razem definicję należy zaczerpnąć z dynamiki; niema sposobu zrobić inaczej, boć celem jest tu właśnie zrozumienie różnicy między masą a wagą. I tutaj definicję należy przygotować przez doświadczenia; jakoż, istnieje maszyna, jakgdyby specjalnie stworzona po to, żeby pokazać, co to jest masa, mianowicie maszyna Atwooda; przypomnieć zresztą będzie potrzeba prawa spadku ciał, że przyspieszenie naskutek ciężkości jest takie same dla ciał ciężkich i dla ciał lekkich, że zmienia się z szerokością gieograficzną itd.
A teraz, jeśli mi powiecie, że wszystkie metody, jakie zalecam, oddawna już są stosowane w liceach, więcej mnie to uraduje niż zadziwi: wiem, że wzięte w całości nasze nauczanie matematyki jest dobre, nie chcę wywracać go do góry nogami, przeciwnie, chcę jedynie udoskonaleń zwolna postępowych. Nauczanie to nie powinno ulegać nagłym wahaniom pod kapryśnym tchnieniem przemijających mód. W takich burzach zginęłaby rychło wysoka jego wartość wychowawcza. Dobra i tęga logika powinna i nadal być jego podstawą. Definicja przez przykład jest zawsze potrzebna, lecz powinna ona przygotować definicję logiczną, nie powinna jej zastąpić; powinna przynajmniej budzić jej potrzebę w wypadkach, gdy prawdziwa definicja logiczna może być z pożytkiem wyłożona dopiero w nauczaniu wyższem.
Nie będzie między nami nieporozumienia co do tego, że to, co powiedziałem dzisiaj, nie oznacza zarzucenia tego, co napisałem gdzieindziej. Częstokroć miałem sposobność krytykowania niektórych definicji, które zalecam dzisiaj. Krytyki te podtrzymuję w całości. Definicje te mogą być jedynie prowizoryczne. Ale trzeba przez nie przejść.


Przypisy

  1. »Nauka i Hypoteza«, str. 85 i nast. przekładu polskiego. (Przyp. tłum.).


Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronach autora: Henri Poincaré i tłumacza: Maksymilian Horwitz.