Nauka i Metoda/Badacz i Nauka/Przyszłość Matematyki
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Przyszłość Matematyki |
| Pochodzenie | Nauka i Metoda / Badacz i Nauka |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1911 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Pobierz jako: EPUB  • PDF  • MOBI  Cały tekst Cała Księga Pierwsza |
| Indeks stron | |
Metoda, która pozwala przepowiedzieć przyszłość matematyki, polega na zbadaniu jej historji i jej stanu obecnego.
Dla nas, matematyków, metoda ta odpowiada naszemu zawodowemu, że tak powiem, sposobowi myślenia. Jesteśmy przyzwyczajeni do ekstrapolowania, które jest sposobem wyprowadzania przyszłości z przeszłości i teraźniejszości, a że znamy dobrze jego wartość, nie narażamy się na złudzenia co do doniosłości rezultatów, do których ono prowadzi.
Bywali dawniej niefortunni prorocy. Powtarzali oni często, że wszystkie zagadnienia rozwiązalne już zostały rozwiązane, i że pozostaje jedynie zbierać zżęte kłosie. Na szczęście przykład przeszłości uczy nas, co o tym myśleć. Nieraz już zdawało się ludziom, że rozwiązali wszystkie zagadnienia, albo przynajmniej, że sporządzili inwentarz tych, które wogóle dają się rozwiązać. A później znaczenie wyrazu »rozwiązanie« rozszerzyło się, zagadnienia nierozwiązalne stały się najbardziej interesującemi, zjawiły się nadto nowe zagadnienia, o jakich dawniej nie myślano. Dla Greków dobrym rozwiązaniem było takie, które posługuje się jedynie linją i cyrklem; później wymagano, aby doń prowadziło jedynie wyciąganie pierwiastków, później, aby nie zawierało ono innych funkcji prócz algiebraicznych i logarytmicznych. Taki rozwój pojęć wypierał ustawicznie pesymistów, zmuszał ich do cofania się, i dzisiaj, być może, znikli oni zupełnie.
Nie mam tedy zamiaru ich zwalczać, skoro sami wymarli; wiemy, że matematyka będzie się i nadal rozwijała, idzie tylko o to, w jakim kierunku. Odpowiedzą mi, że »we wszystkich kierunkach«, i twierdzenie to będzie częściowo słuszne; ale gdyby było ono całkowicie słuszne, stałoby się prawie przerażającym. Zdobyte skarby stałyby się rychło zawadą na drogach myśli, nagromadzenie ich potworzyłoby zatory, równie nieprzebyte, jak nieprzebytą była nieznana prawda dla tego, co o jej istnieniu nie wiedział.
Historyk, a nawet fizyk musi dokonać wyboru pośród faktów: mózg badacza, będący jedynie kątem wszechświata, nie zdoła nigdy zawrzeć całego wszechświata, toteż z niezliczonych faktów, jakich nam dostarcza przyroda, jedne zostaną pominięte, inne zapamiętane. Stosuje się to a fortiori do matematyki; matematyk również nie może zachować, jak groch z kapustą, wszystkich faktów, jakie napotyka; tym bardziej, że fakty te tworzy — on sam, niemal że nie rzekłem — jego kaprys. On to konstruuje w całości nową kombinację, zbliżając do siebie jej elementy; wyjątkowo tylko otrzymuje on gotową kombinację w darze od przyrody.
Niewątpliwie, zdarza się niekiedy, że matematyk podejmuje pewne zagadnienie, aby uczynić zadość pewnej potrzebie fizyki; że fizyk lub inżynier żądają odeń wyliczenia pewnej liczby ze względu na jej zastosowanie. Czyżby wynikało stąd, że my matematycy mamy się ograniczyć do czekania na obstalunki i, zamiast uprawiania naszej nauki dla swojej przyjemności, nie mieć innych trosk nad przystosowanie się do naszej klijenteli? Jeżeli jedynym przedmiotem matematyki jest niesienie pomocy badaczom przyrody, tedy od nich winnibyśmy oczekiwać haseł i rozkazów. Czy pogląd taki jest uzasadniony? Niewątpliwie nie; gdybyśmy nie byli uprawiali nauk ścisłych dla nich samych, nie bylibyśmy stworzyli owego narzędzia, jakim jest matematyka, i w chwili, kiedyby przyszła komenda fizyka, okazalibyśmy się bezbronnemi.
I fizycy również, kiedy przystępują do badania pewnego zjawiska, nie czekają, by jakaś pilna potrzeba życia praktycznego zmusiła ich do tego, — i mają rację; gdyby uczeni XVIII-go wieku zarzucili byli elektryczność, dlatego, że była dla nich tylko ciekawostką, pozbawioną praktycznego interesu, nie mielibyśmy w wieku XX-tym ani telegrafu, ani elektrochemji, ani elektrotechniki. Zmuszeni wybierać, fizycy nie kierują się więc w swym wyborze jedynie względami na użyteczność. Jakże więc postępują oni, gdy wypada im wybierać zpośród faktów przyrodzonych? Wytłumaczyliśmy to w rozdziale poprzednim; faktami, które ich interesują, są te, które mogą zaprowadzić do odkrycia pewnego prawa; te przeto, które są analogiczne do wielu innych faktów, które nie wydają się odosobnionemi, lecz ściśle powiązanemi w grupy z innemi faktami. Fakt odosobniony uderza wzrok każdego, zarówno pospolitego człowieka jak uczonego badacza. Ale tylko fizyk potrafi dojrzeć łącznik, jednoczący kilka faktów, między któremi zachodzi analogja głęboka lecz ukryta. Anegdota o jabłku Newtona nie jest prawdopodobnie prawdziwa, lecz jest symboliczna; możemy więc ją traktować jak prawdziwą. Otóż przed Newtonem wielu chyba ludzi widziało spadające jabłka: żaden nie potrafił nic z tego wywnioskować. Fakty byłyby jałowe, gdyby nie było umysłów, zdolnych dokonać wśród nich wyboru, wyróżniając te, poza któremi kryje się coś, i poznać, co się za niemi kryje, umysłów, które pod powłoką surowego faktu wyczuwać będą duszę tego faktu.
W matematyce robimy zupełnie to samo; przerozmaite elementy, któremi rozporządzamy, możemy wiązać w miljony różnych kombinacji; ale każda z tych kombinacji jest całkiem bez wartości, dopóki jest odosobniona; często skonstruowanie jej kosztowało nas wiele trudu, lecz niema stąd absolutnie żadnej korzyści, prócz chyba tematu do ćwiczeń dla uczni szkół średnich.
Ale postać rzeczy zmieni się radykalnie z chwilą, gdy kombinacja ta zajmie miejsce w klasie kombinacji analogicznych, i gdy zauważymy tę analogję; będziemy wówczas mieli do czynienia nie z faktem lecz z prawem. I w owej chwili prawdziwym wynalazcą będzie nie pracownik, który cierpliwie zbudował kilka z tych kombinacji, lecz ten, kto ujawni ich powinowactwo. Pierwszy widział jedynie surowy fakt, drugi wyczuł duszę faktu. Często dla stwierdzenia tego powinowactwa wystarczy, że wynajdzie on nowy wyraz, i wyraz ten będzie twórczym; historja nauki dostarczyćby nam po temu mogła mnóstwa przykładów, dobrze znanych wszystkim.
Słynny filozof wiedeński Mach powiedział, że rolą nauki jest ekonomja myśli, jak rolą maszyny ekonomja wysiłku. Jestto bardzo trafne. Człowiek dziki rachuje na palcach lub zapomocą kamyków. Ucząc dzieci tabliczki mnożenia, oszczędzamy im na przyszłość niezliczonych operacji z kamykami. Ktoś kiedyś upewnił się, zapomocą kamyków, czy też inną drogą, że 6 razy 7 daje 42, i przyszło mu na myśl zanotować ten rezultat, i dlatego my nie potrzebujemy zaczynać od początku. Człowiek ów, nawet jeśli rachował jedynie dla swojej przyjemności, nie stracił napróżno czasu, jego rachunek zajął mu wszystkiego dwie minuty, a kosztowałby on łącznie dwa miljardy minut, gdyby miljard ludzi musiał po nim zaczynać od początku.
Miarą doniosłości faktu jest zatym jego wydajność, to znaczy ilość myśli, jaką pozwala nam on zaoszczędzić.
W fizyce faktami o wielkiej wydajności są fakty, podlegające jakiemuś bardzo ogólnemu prawu, gdyż pozwalają one przewidzieć wielką ilość innych faktów; nieinaczej jest w matematyce. Przeprowadziłem skomplikowany rachunek i z mozołem dotarłem do pewnego wyniku; trud, jakiego mnie to kosztowało, opłaci się tylko wówczas, jeśli uczyni on mnie zdolnym przewidywać wyniki innych analogicznych rachunków i przeprowadzać je z całą pewnością, bez posuwania się poomacku, nieuniknionego przy pierwszym rachunku. Tym mniej jeszcze czas mój będzie stracony, jeśli właśnie to macanie drogi dopomogło mi do odkrycia głębokiej analogji, jaka zachodzi między zagadnieniem, nad którym ślęczałem, a o wiele rozleglejszą klasą innych zagadnień; jeśli wskazało mi ono podobieństwa i różnice między temi zagadnieniami, jeśli słowem ujawniło mi perspektywę uogólnienia. Zdobyczą moją będzie natenczas coś więcej niż nowy wynik: będzie nią nowa siła.
Wzór algiebraiczny, który daje rozwiązanie pewnego typu zagadnień liczbowych, gdy zastąpi się w wyniku końcowym litery przez liczby, jest prostym przykładem, który się sam nasuwa. Dzięki niemu jeden jedyny rachunek algiebraiczny oszczędza robotę ustawicznego rozpoczynania od początku nowych rachunków liczbowych. Ale przykład ten oddaje tylko zgruba istotę rzeczy; każdy czuje, że istnieją analogje, nie dające się wyrazić za pomocą wzorów, i te są właśnie najcenniejsze.
Cenę posiada nowy wynik wówczas, jeśli przez powiązanie elementów, znanych oddawna lecz rozproszonych i z pozoru sobie obcych, wprowadza on nagle ład tam, gdzie panował pozór bezładu. Pozwala on wówczas na ogarnięcie jednym rzutem oka każdego z tych elementów oraz miejsca, jakie ono zajmuje w zespole. Nowy ten fakt jest nietylko cenny sam przez się, lecz on tylko nadaje wartość wszystkim dawnym faktom, które ze sobą wiąże. Umysł nasz jest ułomny, jak ułomnemi są nasze zmysły; zgubiłby się on w komplikacji świata, gdyby komplikacja ta nie była harmonijną, widziałby tylko jego szczegóły, jak krótkowidze, i musiałby zapomnieć każdy z tych szczegółów, zanimby zaczął oglądać następny, ponieważ byłby niezdolny wszystkiego ogarnąć. Jedynemi faktami, godnemi naszej uwagi, są te, które wprowadzają ład do tej komplikacji i czynią ją przez to dostępną.
Matematycy przywiązują znaczną wagę do wytworności swych metod i ich wyników; nie jestto jakiś dyletantyzm estetyczny. Cóż bowiem w rozwiązaniu zagadnienia matematycznego lub w dowodzie odczuwamy, jako wytworność? Harmonję poszczególnych części, ich symetrję, fortunne ich ugrupowanie; wszystko, słowem, co nadaje im ład, wprowadza jedność, co przez to pozwala nam orjentować się w nich, rozumieć zarówno całość jak szczegóły. A to samo właśnie nadaje im wielką wydajność; albowiem im jaśniej będziemy mogli widzieć całość, im łacniej ogarnąć ją będziemy mogli jednym rzutem oka, tym lepiej dostrzeżemy jej analogje z innemi, sąsiedniemi przedmiotami, tym przeto więcej będziemy mieli szans zgadnięcia możliwych uogólnień. Wytworność może wypływać z uczucia czegoś nieprzewidzianego naskutek nieoczekiwanego spotkania się rzeczy, których zwykle się do siebie nie zbliża; i w tym razie jest ona płodną, gdyż odsłania nam w ten sposób powinowactwa przedtym nieznane; jest płodną nawet wówczas, gdy jest wynikiem kontrastu między prostotą środków a złożonością postawionego zagadnienia; pobudza nas ona wówczas do rozmyślania nad przyczyną tego kontrastu, i najczęściej okazuje się, że przyczyną tą nie jest przypadek lecz jakieś nieprzeczuwane przez nas prawo. Słowem, uczucie matematycznej wytworności jestto poprostu zadowolenie, wypływające z jakiejś odpowiedniości między dopiero co odkrytym rozwiązaniem a potrzebami naszego umysłu, i dla tej właśnie odpowiedniości rozwiązanie to może się stać narzędziem naszej myśli. Estetyczne to zadowolenie jest tym samym związane z ekonomją myśli. I znowu nasuwa mi się porównanie z Erechteionem, — lecz nie chcę go zbyt często odgrzewać.
Dla tejże samej racji, gdy przydługi rachunek da nam w końcu wynik prosty i uderzający, nie czujemy zadowolenia, dopóki nie wykażemy, że moglibyśmy przewidzieć jeśli nie cały ten wynik, to przynajmniej najbardziej charakterystyczne jego rysy. I czemuż to? Cóż nam przeszkadza zadowolić się rachunkiem, który dał nam, zdałoby się, wszystko, cośmy chcieli wiedzieć? To mianowicie, że w analogicznych wypadkach długi ten rachunek nie dałby się bezpośrednio zastosować, natomiast owo często nawpółintuicyjne rozwiązanie, które mogło było pozwolić przewidzieć wynik, wskaże nam i wówczas drogę do celu. Krótkość tego rozumowania sprawia, że się jednym spojrzeniem ogarnia wszystkie jego części i postrzega odrazu, co w nim należy zmienić, by je dopasować do wszystkich zagadnień tej samej natury, które mogą się wysunąć. A ponieważ pozwala ono przewidzieć, czy rozwiązanie tych zagadnień będzie proste, wskazuje tym samym, czy wogóle warto przystępować do wykonania rachunku.
Uwagi powyższe wystarczają by okazać, jak próżnym byłoby usiłowanie zastąpienia jakimkolwiek działaniem mechanicznym swobodnej inicjatywy matematyka. Dla osiągnięcia wyniku o istotnej wartości nie wystarcza mleć rachunki lub puścić w ruch maszynę, ład zaprowadzającą; nie wszelki bowiem ład lecz ład nieoczekiwany posiada wartość. Maszyna może wgryźć się w fakt surowy, nie chwyci ona nigdy duszy faktu.
Od połowy zeszłego stulecia matematycy coraz więcej dbają o bezwzględną ścisłość; mają oni niewątpliwie słuszność, i tendencja ta będzie się i nadal potęgowała. W matematyce ścisłość nie jest wszystkim, lecz bez niej niema nic; dowód, który nie jest ścisły, nie jest niczym. Nikt, sądzę, nie poda tej prawdy w wątpliwość. Gdyby wszakże wziąć ją zbyt dosłownie, możnaby wywnioskować, że przed rokiem 1820, naprzykład, nie było matematyki; byłoby to jawną przesadą; matematycy ówcześni lubili zakładać domyślnie to, co my tłumaczymy w rozwlekłych dyskursach; nie znaczy to, by zupełnie tego nie widzieli; lecz prześlizgiwali się po tych rzeczach zbyt szybko, a dokładne w nie wejrzenie wymagałoby, by zadali sobie trud wypowiedzenia ich.
Wszelako, czyż zawsze potrzeba je wypowiadać tyle razy? ci, co pierwsi zatroszczyli się przedewszystkim o ścisłość, dali nam rozumowania, które możemy starać się naśladować; ale jeśliby wszystkie przyszłe dowody miały być zbudowane według tego modelu, traktaty matematyczne stałyby się bardzo długie; a długości tej boję się nietylko dlatego, że się lękam przeludnienia bibljotek, lecz dlatego, że się obawiam, iż dowody nasze, wydłużając się, stracą ową postać harmonijną, której użyteczną rolę wytłumaczyłem powyżej.
Mając na celu ekonomję myśli, nie wystarcza dawać modele do naśladowania. Trzeba, aby po nas można się było obyć bez tych modeli, i zamiast powtarzać dokonane już rozumowanie, streścić je w paru wierszach. Kilkakrotnie powiodło się już to zrobić; istniał n. p. pewien typ rozumowań, które były do siebie podobne, i które napotykało się wszędzie; były one doskonale ścisłe, ale były długie. Pewnego dnia wymyślono wyraz: »jednostajność zbieżności« i wyraz ten uczynił je zbytecznemi; nie było już potrzeby ich powtarzać, bo można je było stosować domyślnie. Rozszczepiacze trudności na czworo mogą nam tedy oddać podwójną usługę: nasamprzód mogą nas nauczyć robić w razie potrzeby tak, jak oni, zwłaszcza zaś mogą nam pozwolić możliwie najczęściej robić nie tak jak oni, nie poświęcając nic z ścisłości.
Widzieliśmy przed chwilą na jednym przykładzie, jaka jest doniosłość wyrazów w matematyce, a przykładów takich mógłbym przytoczyć bardzo wiele. Trudno wprost uwierzyć, ile myśli może oszczędzić dobrze obrany wyraz, jak mówi Mach. Nie wiem, czy nie powiedziałem już gdzieś, że matematyka jest sztuką nadawania tej samej nazwy różnym rzeczom. Trzeba, by rzeczy te, różne co do treści, były podobne co do kształtu, żeby mogły, że tak powiem, odlewać się w jedną formę. Gdy język został trafnie obrany, ku ździwieniu naszemu wszystkie dowodzenia, przeprowadzone dla znanego przedmiotu, stosują się bezpośrednio do wielu nowych przedmiotów; nie potrzeba nic w nich zmieniać, nawet wyrazów, bo różnym tym przedmiotom nadaliśmy te same nazwy.
Dobrze obrany wyraz wystarcza najczęściej, by znikły wyjątki od reguł, formułowanych w dawnym języku; w tym to celu wymyślono ilości ujemne, ilości urojone, punkty w nieskończoności, że te tylko wymienię. A wyjątki, pamiętajmy, są zgubne, bo zasłaniają prawa.
Jedną z cech, po których właśnie można poznać fakty o wielkiej wydajności, jest to, że pozwalają one na owe szczęśliwe inowacje językowe. Fakt surowy jest w takich razach często bez znaczniejszego interesu, można było wiele razy go stwierdzić, nie oddając nauce większej usługi; nabiera on wartości dopiero z chwilą, gdy bardziej przenikliwy myśliciel dostrzeże ujawnione przez ten fakt powinowactwo i usymbolizuje je w wyrazie.
I fizycy zresztą postępują zupełnie tak samo; wynaleźli oni wyraz energja, i wyraz ten okazał się na dziw płodnym, bo i on tworzył prawo, rugując wyjątki, bo dawał tę samą nazwę rzeczom różnym w treści a podobnym z formy.
Zpośród wyrazów, które wywarły najszczęśliwszy wpływ, wskażę na wyrazy grupa i niezmiennik. Pozwoliły one dostrzec istotę wielu rozumowań matematycznych; wykazały, w jak wielu wypadkach dawni matematycy rozważali grupy, nie wiedząc o tym, i jakto wówczas, kiedy zdawało im się, że są od siebie bardzo dalecy, nagle znajdowali się w bliskim sąsiedztwie, nie rozumiejąc dlaczego.
Powiedzielibyśmy dzisiaj, że rozważali oni grupy izomorfijne. Wiemy dziś, że w grupie treść obchodzi nas mało, że ważna jest jedynie forma, i że jeśli znamy dobrze pewną grupę, znamy tymsamym wszystkie grupy izomorfijne; i dzięki wyrazom: grupa i izomorfizm, które w kilku sylabach streszczają to subtelne prawidło i spoufalają z nim rychło wszystkie umysły, przejście z jednej dziedziny do drugiej odbywa się bezpośrednio, oszczędzając wszelkiego wysiłku myśli. Pojęcie grupy wiąże się zresztą z pojęciem przekształcenia; czemu przypisuje się taką wartość nowemu przekształceniu? bo pozwala ono z jednego twierdzenia wyprowadzić dziesięć lub dwadzieścia; posiada ono tę samą wartość, co zero dopisane z prawej strony do liczby całkowitej.
Te sprężyny oznaczały dotychczas kierunek ruchu nauki matematycznej, i one też z pewnością oznaczać go będą w przyszłości. W oznaczaniu tego kierunku bierze jednak również udział charakter wysuwających się zagadnień. Nie możemy zapominać, jaki winien być nasz cel; moim zdaniem cel ten jest dwojaki; nauka nasza graniczy z jednej strony z filozofją, z drugiej z fizyką, i dla tych dwu sąsiadek pracujemy; jakoż widzieliśmy zawsze i zawsze będziemy widzieli matematyków, idących w dwu przeciwległych kierunkach.
Z jednej strony nauka matematyczna musi rozmyślać nad samą sobą, i jestto pożyteczne, bo rozmyślać nad samą sobą znaczy dla niej rozmyślać nad umysłem ludzkim, który ją stworzył, tymbardziej, że jestto z wszystkich jego tworów ten, dla którego najmniej czerpał on zzewnątrz. To stanowi o pożyteczności pewnych spekulacji matematycznych jak np. tych, których przedmiotem są postulaty, gieometrje niezwyczajne, funkcje o dziwnym wyglądzie. Im bardziej oddalą się te spekulacje od najpospolitszych pojęć, a przeto od przyrody i od zastosowań, tym lepiej wskażą nam, co może zdziałać umysł ludzki, gdy coraz bardziej uchyla się zpod tyranji świata zewnętrznego, tym lepiej zatym pozwolą nam poznać go samego w sobie.
Ale główną naszą armję winniśmy kierować w stronę przeciwną, w stronę przyrody.
Tam spotkamy fizyka lub inżyniera, który nam powie: »Czy nie moglibyście mi zcałkować tego równania różniczkowego, będę go potrzebował od dziś za tydzień dla takiej a takiej budowy, która ma być ukończona na taki termin«. »Równanie to, odpowiadamy, nie wchodzi do żadnego z typów całkowalnych, wszak wiecie, że niema ich dużo.« »Tak, wiem to, lecz w takim razie, jakiż z was pożytek?« Po większej części wszelako możnaby się porozumieć; inżynierowi właściwie nie jest potrzebna całka w postaci skończonej; potrzebna mu jest znajomość ogólnego wyglądu funkcji całkowej, lub potrzebuje poprostu pewnej cyfry, którąby można było łatwo wyprowadzić z tej całki, gdyby się ją znało. Zwykle nie zna się samej całki, ale możnaby wyrachować cyfrę tę bez niej, gdyby się dobrze wiedziało, jaka to cyfra potrzebna jest inżynierowi i z jakim przybliżeniem.
Kiedyś uważano równanie za rozwiązane jedynie wówczas, gdy wyrażono jego rozwiązanie zapomocą skończonej ilości znanych funkcji; ale jestto możliwe conajwyżej raz na sto razy. Zawsze natomiast możemy, a właściwie powinniśmy się starać rozwiązać zagadnienie, że tak powiem, jakościowo, to znaczy starać się poznać ogólny kształt krzywej, która wyobraża funkcję niewiadomą.
Pozostaje wówczas znalezienie ilościowego rozwiązania zagadnienia; jeżeli niewiadomej nie można oznaczyć zapomocą rachunku skończonego, to można ją zawsze wyrazić w postaci nieskończonego zbieżnego szeregu, który pozwala ją wyrachować. Czy można to uważać za prawdziwe rozwiązanie? Opowiadają, że Newton zakomunikował Leibnizowi anagram mniej więcej taki: aaaaabbbeeeeii itd. Leibniz, oczywista, nie zrozumiał z tego nic; lecz my, którzy znamy klucz, wiemy, że anagram ten w przekładzie na język nowoczesny mówi: »Umiem całkować wszystkie równania różniczkowe«, co mogłoby nam nastręczyć myśl, że Newton miał duże szczęście, albo też, że osobliwie się łudził. W istocie chciał on poprostu powiedzieć, że był w stanie utworzyć (zapomocą metody współczynników nieoznaczonych) szereg potęg, czyniących formalnie zadość danemu równaniu.
Podobne rozwiązanie nie zadowoliłoby nas dzisiaj, i to dla dwu względów: dlatego, że zbieżność jest zbyt powolna, i że wyrazy następują po sobie bez określonego prawa. Przeciwnie, szereg Θ wydaje się nam odpowiadającym wszelkim wymaganiom, naprzód dlatego, że zbiega się bardzo szybko (ważne dla praktyka, który chce otrzymać swoją liczbę możliwie najrychlej), powtóre zaś dlatego, że obejmujemy jednym rzutem prawo wyrazów (dla teoretyka, aby zaspokoić jego potrzeby estetyczne).
Wobec tego niema więcej zagadnień rozwiązanych i zagadnień nierozwiązanych; istnieją tylko zagadnienia bardziej lub mniej rozwiązane stosownie do tego, czy rozwiązanie to stanowi szereg o bardziej lub mniej szybkiej zbieżności, lub czy rządzi nim prawo bardziej lub mniej harmonijne. Zdarza się przecież, że rozwiązanie niedoskonałe toruje drogę do rozwiązania lepszego. Niekiedy zbieżność szeregu jest tak wolna, że rachunek jest praktycznie nie do przeprowadzenia, i że dane rozwiązanie jest jedynie dowodem teoretycznej rozwiązalności samego zagadnienia.
Inżynier uzna rozwiązanie takie za pozbawione wszelkiej wartości, i słusznie, skoro nie pomoże mu ono wykończyć budowy na oznaczony termin. Mało dba on o to, czy będzie to użyteczne dla inżynierów XXII-go stulecia; my oceniamy tę kwestję z innego stanowiska, i więcej nam sprawia niekiedy zadowolenia zaoszczędzenie dnia pracy naszym wnukom, niż godziny naszym współczesnym.
Niekiedy, idąc omackiem, empirycznie poniekąd, osiągamy wzór dostatecznie zbieżny. I czegóż wam więcej potrzeba, powie nam inżynier; a my, pomimo wszystko, nie jesteśmy zadowoleni, wolelibyśmy przewidzieć tę zbieżność. Dlaczego? bo gdybyśmy potrafili przewidzieć ją raz, potrafilibyśmy przewidzieć ją innym razem. Powiodło nam się — jestto dla nas bardzo niewiele, jeżeli nie mamy poważnej nadziei, że powiedzie się znowu.
W miarę rozwoju nauki staje się trudniejszym ogarnięcie jej całej; wówczas usiłuje się pokrajać ją na kawałki, ograniczyć się jednym takim kawałkiem; słowem — specjalizować się. Gdyby proces ten trwał dalej, stałoby się to dotkliwą przeszkodą dla postępów nauki. Jak powiedzieliśmy, postępy jej mogą być wywołane nieoczekiwanemi zbliżeniami rozmaitych jej części. Zbytnia specjalizacja wykluczałaby takie zbliżenia. Miejmy nadzieję, że kongresy takie, jak heidelberski i rzymski, nawiązując komunikację między matematykami, otworzą nam widok na pole sąsiada, zmuszą nas do porównania tego pola do naszego, do wychylenia się poza naszą wioskę; staną się one w ten sposób najlepszym lekarstwem na niebezpieczeństwo powyżej wskazane.
Ale zadużo trawię czasu na uwagi ogólne, pora już wejść w szczegóły.
Dokonajmy przeglądu rozmaitych nauk szczególnych, których zespół stanowi matematykę; zobaczmy, co każda z nich zrobiła, dokąd zmierza, i czego można się od niej spodziewać. Jeżeli powyższe poglądy są słuszne, będziemy musieli stwierdzić, że w przeszłości wielkie postępy zachodziły wówczas, gdy dwie z tych nauk zbliżyły się do siebie, gdy uświadomiono sobie podobieństwo ich form pomimo odmienności ich treści, gdy jedna jęła się modelować na drugiej, tak, iż każda z nich mogła korzystać ze zdobyczy drugiej. Zarazem powinnibyśmy dostrzec w podobnych zarysowujących się zbliżeniach postępy przyszłości.
Postępy arytmetyki były znacznie powolniejsze niż postępy algiebry i analizy, i nietrudno jest zrozumieć, dlaczego tak było. Poczucie ciągłości, ten tak cenny przewodnik w badaniach, nie może służyć arytmetykowi; każda liczba całkowita odosobniona jest od innych, posiada poniekąd własną indywidualność; każda z nich jest pewnego rodzaju wyjątkiem, i dlatego twierdzenia ogólne rzadsze są w teorji liczb, dlatego również twierdzenia istniejące są bardziej ukryte i dłużej wymykają się badaczom.
Skoro arytmetyka jest spóźniona w stosunku do algiebry i analizy, tedy najlepiej zrobi, jeśli będzie się starała modelować na tych naukach, aby skorzystać z ich postępów. Arytmetyk powinien tedy kierować się analogjami z algiebrą. Analogje te są liczne i jeśli w wielu wypadkach nie zbadano ich dość zbliska, by z nich wyciągnąć korzyści, to przeczuwa się je przynajmniej oddawna, i sam język obu tych nauk dowodzi, że je dostrzeżono. Tak np. mówi się o liczbach przestępnych (transcendentnych) i zdaje się sobie sprawę z tego, że przyszła klasyfikacja tych liczb ma już wzór w klasyfikacji funkcji przestępnych, jakkolwiek nie jest jeszcze widocznym, jak będzie można przejść od jednej klasyfikacji do drugiej; bo gdyby to było widocznym, byłoby to już zrobione, i przestałoby być dziełem przyszłości.
Pierwszym przykładem, który mi się nasuwa, jest teorja porównań (kongruencji), wykazująca zupełny paralelizm z teorją równań algiebraicznych. Niewątpliwie powiedzie się dopełnić ten paralelizm niechybną równoległością między teorją krzywych algiebraicznych a porównaniami o dwu zmiennych. Kiedy zaś zagadnienia, dotyczące porównań o kilku zmiennych, będą rozwiązane, będzie to pierwszym krokiem ku rozwiązaniu wielu zadań analizy nieoznaczonej.
Teorja równań algiebraicznych ściągać będzie jeszcze długo uwagę matematyków; przystępować do niej można ze stron licznych i rozmaitych.
Nie należy mniemać, że algiebra jest skończona, ponieważ dostarcza nam prawideł na formowanie wszelkich możliwych kombinacji; pozostaje poszukiwanie kombinacji interesujących, czyniących zadość temu lub innemu warunkowi. W ten sposób ukonstytuuje się pewnego rodzaju analiza nieoznaczona, w której niewiadomemi będą nie liczby całkowite lecz wielomiany. A w tym razie algiebra weźmie za model arytmetykę, kierując się analogją, jaką wykazuje z liczbą całkowitą bądź wielomian całkowity o jakichkolwiek współczynnikach, bądź wielomian całkowity o współczynnikach całkowitych.
Zdawałoby się, że gieometrja nie może zawierać w sobie nic, czegoby nie było już w algiebrze lub w analizie; że fakty gieometryczne nie są niczym innym, jak faktami algiebraicznemi lub analitycznemi, wyrażonemi w innym języku. Możnaby tedy sądzić, że po powyższym przeglądzie arytmetyki i algiebry nie mamy już nic do powiedzenia, coby dotyczyło specjalnie gieometrji. Lecz mniemanie takie równałoby się zapoznaniu wagi dobrze urobionego języka, nierozumieniu tego, co dodaje do samych rzeczy sposób ich wysłowienia a przeto i ich zgrupowania.
Nasamprzód rozważania gieometryczne pobudzają nas do wysuwania nowych zagadnień: są to wprawdzie, jeśli chcecie, zagadnienia analityczne, ale których nie wysunęlibyśmy nigdy ze względu na samą analizę. Analiza wszelako na tym korzysta, podobnie, jak korzysta z zagadnień, które zmuszona jest rozwiązać, aby zaspokoić potrzeby fizyki.
Wielką wyższością gieometrji jest, że w niej zmysły mogą popierać intelekt, pomagają odgadnąć drogę, i wiele umysłów woli sprowadzać zagadnienia analizy do postaci gieometrycznej. Niestety, zmysły nasze nie mogą nas zaprowadzić bardzo daleko i odmawiają nam towarzystwa, skoro tylko zechcemy wylecieć poza trzy klasyczne wymiary. Czy znaczy to, że po wyjściu z tego ograniczonego obszaru, w którym jakgdyby chcą nas one uwięzić, powinniśmy jedynie liczyć na analizę czystą, i że wszelka gieometrja więcej niż trójwymiarowa jest czcza i bezprzedmiotowa? W pokoleniu, które nas poprzedziło, najwięksi mistrze byliby odpowiedzieli »tak«; my dzisiaj tak jesteśmy z tym pojęciem obyci, że możemy o nim mówić nawet w wykładzie uniwersyteckim, nie budząc zbytniego ździwienia.
Ale jakiż jest z niego użytek? Odpowiedź nietrudna: daje ono nam przedewszystkim bardzo wygodny język, który wyraża w terminach bardzo zwięzłych to, co język zwykły wypowiedziałby w wielosłownych zdaniach. Nadto język ten każe nam nazywać jedną i tą samą nazwą to, co jest do siebie podobne, i uwypukla analogje, wrażając je w sposób niezatarty w naszą pamięć. Pozwala nam więc kierować się w owej zbyt wielkiej i niewidzialnej dla nas przestrzeni, przypominając nam ustawicznie przestrzeń widzialną, która jest wprawdzie niedoskonałym tylko tamtej obrazem, ale przecież jest jej obrazem. I tutaj tedy, podobnie jak w poprzednich przykładach, analogja z rzeczami prostemi pozwala nam rozumieć rzeczy złożone.
Ta gieometrja o więcej niż trzech wymiarach nie jest poprostu gieometrją analityczną, nie jest czysto ilościową, jest również jakościową i głównie tym jest interesująca. Istnieje nauka, zwana Analysis Situs, której przedmiotem jest badanie stosunków położenia rozmaitych elementów danej figury, abstrahując od ich wielkości. Gieometrja ta jest czysto jakościową; twierdzenia jej pozostałyby prawdziwe, gdyby figury dokładne zastąpione zostały przez figury zgruba narysowane przez dziecko. Można zbudować Analysis Situs o więcej niż trzech wymiarach. Doniosłość Analysis Situs jest ogromna i nie mogę wprost położyć na nią zbyt wielkiego nacisku; korzyści, jakie z niej wyciągnął Riemann, jeden z jej twórców, starczyłby za dowód. Musi się powieść zbudować ją całkowicie w przestrzeniach wyższych: będziemy wówczas w posiadaniu narzędzia, które pozwoli istotnie widzieć w nadprzestrzeni i dopełnić braki naszych zmysłów.
Zagadnienia Analysis Situs nie byłyby, być może, powstały, gdyby się posługiwano wyłącznie językiem analitycznym; albo raczej — mylę się — powstałyby z pewnością, skoro rozwiązanie ich niezbędne jest dla mnóstwa zagadnień z dziedziny analizy; ale powstałyby jako zagadnienia odosobnione, jedne po drugich, bez ujawnienia łączących je węzłów.
Mówiłem już wyżej o odczuwanej przez nas potrzebie ustawicznego wspinania się znowu do pierwszych zasad naszej nauki, i o korzyści, jaka może stąd płynąć dla badań nad umysłem ludzkim. Ta właśnie potrzeba natchnęła dwie próby, które zajęły znaczne bardzo miejsce w najnowszej historji matematyki. Pierwszą jest cantoryzm, który oddał nauce znane usługi. Cantor wprowadził do nauki nowy sposób rozważania nieskończoności matematycznej, o czym będziemy mieli sposobność mówić w rozdziale VII-ym. Jednym z najcharakterystyczniejszych rysów cantoryzmu jest, że zamiast wznoszenia się ku pojęciom ogólnym przez budowanie konstrukcji coraz bardziej złożonych i definjowania przez konstrukcję, wychodzi on z genus supremum i definjuje, jak powiedzieliby scholastycy, jedynie per genus proximum et differentiam specificam. Stąd odraza, jaką budził on niekiedy w niektórych umysłach, np. u Hermite’a, którego ulubioną ideją było porównywanie nauk matematycznych do nauk przyrodniczych. U większości z nas uprzedzenie to rozproszyło się; zdarzyło się przecież, że potknięto się o pewne paradoksy, o pewne sprzeczności, które napełniłyby radością Zenona z Elei i szkołę megarską. I oto każdy szuka leku. Moim zdaniem — a jestto zdanie i innych — najważniejszym jest, aby nigdy nie wprowadzać innych tworów prócz tych, które można w zupełności zdefinjować zapomocą skończonej ilości wyrazów. Jakikolwiek z leków się zastosuje, możemy przewidzieć radość lekarza, który będzie miał sposobność obserwować piękny wypadek patologiczny.
Z drugiej strony usiłowano wyliczyć pewniki i postulaty mniej lub bardziej ukryte, które stanowią podstawę poszczególnych teorji matematycznych. Hilbert osiągnął w tej dziedzinie świetne wyniki. Zdawałoby się zrazu, że jestto dziedzina wyraźnie ograniczona, i że nie będzie w niej nic do roboty, skoro inwentarz będzie skończony, co musi nastąpić dość rychło. Ale kiedy wszystko będzie wyliczone, będzie dość sposobów rozklasyfikowania wszystkiego; dobry bibljotekarz znajduje zawsze zajęcie, a każda nowa klasyfikacja będzie pouczająca dla filozofa.
Urywam ten przegląd, nie mając żadnych złudzeń co do jego zupełności. Sądzę, że przykłady te wystarczą, by okazać, jaki był mechanizm postępu nauk matematycznych w przeszłości, i w jakim kierunku muszą się one posuwać w przyszłości.
