Tablica pochodnych

Podstawowe wzory

• Niech $f,\; g,\; h\colon \mathbb R \to \mathbb R$ będą różniczkowalne na zbiorze otwartym $U\;$, zaś $c \;$ będzie stałą. Zachodzą wtedy poniższe wzory (poprawne również dla funkcji o argumentach i wartościach zespolonych):

Funkcja	Pochodna
$f \pm g$	$f^\prime \pm g^\prime$
$c \cdot f$	$c \cdot f^\prime$
$f \cdot g$	$f^\prime \cdot g + f \cdot g^\prime$
$f \cdot g \cdot h$	$f^\prime \cdot g \cdot h + f \cdot g^\prime \cdot h + f \cdot g \cdot h^\prime$
${f \over g}$	${{f^\prime \cdot g - f \cdot g^\prime} \over g^2}\quad ^{1)}$
$g \circ f = g(f)$	$(g^{\prime} \circ f) \cdot f^\prime = g^\prime(f) \cdot f^\prime\quad ^{2)}$
$\left.\ln f\right.$	$f^\prime \over f$
$\quad f^c$	$c \cdot f^{c-1} \cdot f^\prime$
$\quad f^g$	$f^g \left({f^\prime g \over f} + g^\prime\ln f \right)\quad ^{3)}$

$^{1)}\,$ Iloraz jest funkcją różniczkowalną w zbiorze $\{x \in U: g(x) \neq 0\}$.
$^{2)}\,$ W tym wypadku zakładamy, że $f\,$ jest różniczkowalna na $U\,$ oraz $g\,$ jest różniczkowalna na $f(U)\,$.
$^{3)}\,$ $\quad f > 0$

Pochodne funkcji elementarnych

W tabelce poniżej x to zawsze zmienna, a wszystkie inne litery to stałe.

Funkcja	Pochodna	Uwagi
$c\,$	$0\,$
$x\,$	$1\,$
$x^n\,$	$nx^{n-1}\,$	$n \in \mathbb R \setminus \{1\}\qquad^{4)}$
$ax+b\,$	$a\,$
$ax^2 + bx + c\,$	$2ax + b\,$
${ a \over x } = a \cdot x^{-1}$	$-{a \over x^2} = -1 \cdot a \cdot x^{-2}\,$	$x \ne 0\,$
$\sin x\,$	$\cos x\,$
$\cos x\,$	$-\sin x\,$
$\operatorname{tg}\ x\,$	$\operatorname{sec}^2\ x = {1 \over \cos^2 x}\,$	$x \ne {\pi \over 2}+k\pi,\; k \in \mathbb Z$
$\operatorname{ctg}\ x\,$	$-\operatorname{csc}^2\ x = -{1 \over \sin^2 x}\,$	$x\not=k\pi,\; k \in \mathbb Z$
$\operatorname{sec}\ x\,$	$\operatorname{tg}\ x\ \operatorname{sec}\ x\,$	$x \ne {\pi \over 2}+k\pi,\; k \in \mathbb Z$
$\operatorname{csc}\ x\,$	$-\operatorname{ctg}\ x\ \operatorname{csc}\ x\,$	$x\not=k\pi,\; k \in \mathbb Z$
$e^x\,$	$e^x\,$
$a^x\,$	$a^x \ln a\,$	$a>0\,$
$x^x\,$	$x^x (1+\ln x)\,$	$x>0\,$
$\ln x\,$	$1 \over x\,$	$x>0\,$
$\log_a x\,$	$1 \over x\ln a\,$
$\operatorname{arcsin}\ x\,$	$1 \over \sqrt {1 - x^2}\,$	$|x|<1\,$
$\operatorname{arccos}\ x\,$	$-{1 \over \sqrt{1 - x^2}}\,$	$|x|<1\,$
$\operatorname{arctg}\ x\,$	$1 \over 1 + x^2\,$
$\operatorname{arcctg}\ x\,$	$-{1 \over 1 + x^2}\,$
$\operatorname{arcsec}\ x\,$	$\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\,$	$|x|>1\,$
$\operatorname{arccsc}\ x\,$	$-\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\,$	$|x|>1\,$
$\sqrt x\,$	$1 \over 2 \sqrt x\,$	$x>0\,$
$\sqrt[n] x\,$	$1 \over n \sqrt[n]{x^{n-1}}\,$	$x>0\,$
$\operatorname{sinh}\ x = {{e^x - e^{-x}} \over 2}\,$	$\operatorname{cosh}\ x = {{e^x + e^{-x}} \over 2}\,$
$\operatorname{cosh}\ x = {{e^x + e^{-x}} \over 2}\,$	$\operatorname{sinh}\ x = {{e^x - e^{-x}} \over 2}\,$
$\operatorname{tgh}\ x = {\operatorname{sinh}\ x \over \operatorname{cosh}\ x}\,$	$\operatorname{sech}^2\ x = \tfrac{1}{\operatorname{cosh}^2\ x} = \tfrac{4}{(e^x + e^{-x})^2}\,$
$\operatorname{ctgh}\ x = \frac{\operatorname{cosh}\ x}{\operatorname{sinh}\ x}\,$	$-\operatorname{csch}^2\ x = -{\tfrac{1}{\operatorname{sinh}^2\ x}} = -{\tfrac{4}{(e^x-e^{-x})^2}}\,$	$x\neq0\,$
$\operatorname{sech}\ x = \frac{2}{e^x+e^{-x}}\,$	$-\operatorname{tgh}\ x\ \operatorname{sech}\ x\,$
$\operatorname{csch}\ x = \frac{2}{e^x-e^{-x}}\,$	$-\operatorname{ctgh}\ x\ \operatorname{csch}\ x\,$	$x\neq0\,$
$\operatorname{arsinh}\ x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})\,$	$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,$
$\operatorname{arcosh}\ x = \ln(x + \sqrt{x-1}\sqrt{x+1})\,$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,$	$x>1\,$
$\operatorname{artgh}\ x = \frac{1}{2}\ln {1+x \over 1-x}\,$	$1 \over 1-x^2\,$	$|x|<1\,$
$\operatorname{arctgh}\ x = \frac{1}{2}\ln {x+1 \over x-1}\,$	$1 \over 1-x^2\,$	$|x|>1\,$
$\operatorname{arsech}\ x = \ln\left(\sqrt{\tfrac{1}{x}-1}\sqrt{\tfrac{1}{x}+1}+\tfrac{1}{x}\right)\,$	$\frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\qquad^{5)}\,$	$x\in(0;1)\,$
$\operatorname{arcsch}\ x = \ln\left(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}+\tfrac{1}{x}\right)\,$	$\frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\qquad^{5)}\,$	$x\neq0\,$
$\ln (x+\sqrt{x^2 \pm a^2})\,$	$1 \over \sqrt{x^2 \pm a^2}\,$

${}^{4)}\;$ Dla $n=1$ wzór jest też poprawny, ale z wyjątkiem punktu $x=0,$ w którym pochodna istnieje, ale podany wzór nie jest określony.

${}^{5)}\;$ W niektórych z powyższych wzorów możliwe są uproszczenia, ale dotyczą one tylko dziedziny rzeczywistej. Podane wzory działają natomiast także w dziedzinie zespolonej.