Sumy

Sumy

Sumy

Wzory na sumy n pierwszych wyrazów pewnych ciągów kolejnych liczb naturalnych:

Sumy potęg kolejnych liczb naturalnych

• Suma n pierwszych liczb naturalnych: $1+2+3+4+\dots+n=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}=s_{1}$

• Suma kwadratów n pierwszych liczb naturalnych: $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\dots+n^{2}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=s_{2}$

• Suma sześcianów n pierwszych liczb naturalnych: $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\dots+n^{3}=\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}=(s_{1})^{2}$

• Suma czwartych potęg n pierwszych liczb naturalnych: $\sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}=s_{4}=s_2\cdot \frac{3n^{2}+3n-1}{5}$

• Suma piątych potęg n pierwszych liczb naturalnych: $\sum_{k=1}^{n}k^5=\frac{n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}=s_{5}=(s_{1})^{2}\cdot\frac{2n^{2}+2n-1}{3}$

Sumy potęg kolejnych nieparzystych liczb naturalnych

• Suma n pierwszych nieparzystych liczb naturalnych: $1+3+5+\dots+(2n-1)=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}=\sigma_{1}$

• Suma kwadratów n pierwszych nieparzystych liczb naturalnych: $1^{2}+3^{2}+5^{2}+\dots+(2n-1)^{2}=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}=\frac{n(4n^{2}-1)}{3}=\sigma_{2}$

• Suma sześcianów n pierwszych nieparzystych liczb naturalnych: $1^{3}+3^{3}+5^{3}+\dots+(2n-1)^{3}=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}=\sigma_{1}(2n^{2}-1)$

Ten tekst nie jest objęty majątkowymi prawami autorskimi lub prawa te wygasły. Jest zatem w domenie publicznej.